contrôle du 17 novembre 2012

Corrigé de l'exercice 3

f est la fonction carré définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=x^2$.
Sa courbe représentative est la parabole $\left(𝒫\right)$ tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. Calculer les images des réels $\left(-{10}^{-3}\right)$, ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ et $2-\sqrt{3}$.

   • ${\left(-{10}^{-3}\right)}^2={10}^{-6}$ donc $f\left(-{10}^{-3}\right)={10}^{-6}$

     ---

   • ${\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{3}{4}}$ donc $f\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}$

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   • ${\left(2-\sqrt{3}\right)}^2=4-4\sqrt{3}+3$ donc $f\left(2-\sqrt{3}\right)=7-4\sqrt{3}$

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2. Quels sont les antécédents éventuels de 20 ?

   L'équation $x^2=20$ admet deux solutions $x=-\sqrt{\mathrm{20}}$ ou $x=\sqrt{\mathrm{20}}$.

   Les antécédents de 20 sont $-2\sqrt{5}$ et $2\sqrt{5}$.

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3. Le point $A\left(-\mathrm{3,6};13\right)$ appartient-il à la parabole $\left(𝒫\right)$ ?

   $$f\left(-\mathrm{3,6}\right)={\left(-\mathrm{3,6}\right)}^2=\mathrm{12,96}$$

   Les coordonnées du point $A\left(-\mathrm{3,6};13\right)$ ne vérifient pas l'équation de la parabole $\left(𝒫\right)$. Donc le point A n'appartient pas à la parabole $\left(𝒫\right)$.

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4. Soit a un réel tel que : $-3⩽a⩽2$. Déterminer un encadrement de $a^2$.

   La fonction carré n'est pas monotone sur $ℝ$. Or $-3⩽a⩽2$ équivaut à $-3⩽a⩽0$ ou $0⩽a⩽2$ :

   • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$, la fonction carré est strictement décroissante. Par conséquent, si $-3⩽a⩽0$ alors $0⩽a^2⩽9$

   • Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ , la fonction carré est strictement croissante. Par conséquent, si $0⩽a⩽2$ alors $0⩽a^2⩽4$

   Ainsi, si $x\in \left[-3;2\right]$ alors $0⩽a^2⩽9$.

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5. Soit g la fonction affine définie sur $ℝ$ telle que $g\left(-3\right)=18$ et $g\left(5\right)=6$.

   1. Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(5\right)-g\left(-3\right)}{5-\left(-3\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{6-18}{8}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+b$. Or $g\left(5\right)=6$ d'où $$-{\displaystyle \frac{3}{2}}\times 5+b=6\iff b={\displaystyle \frac{27}{2}}$$

      g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{27}{2}}$.

      ---

   2. Tracer la courbe $D_g$ représentative de la fonction g dans le repère précédent.

      $D_g$ est la droite passant par les points $\left(-3;18\right)$ et $\left(5;6\right)$

6. 1. Montrer que $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(x+{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)\left(x-3\right)$

      Pour tout réel x, $$f\left(x\right)-g\left(x\right)=x^2-\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{27}{2}}\right)=x^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{27}{2}}$$

      Or pour tout réel x, $$\left(x+{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)\left(x-3\right)=x^2-3x+{\displaystyle \frac{9}{2}}x-{\displaystyle \frac{27}{2}}=x^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{27}{2}}$$

      Donc pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(x+{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)\left(x-3\right)$.

      ---

   2. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$.

      $$\begin{array}{ccccc}f\left(x\right)⩽g\left(x\right)& \iff & f\left(x\right)-g\left(x\right)⩽0& \iff & \left(x+{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)\left(x-3\right)⩽0\end{array}$$

      Étudions le signe du produit $\left(x+{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)\left(x-3\right)$

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{9}{2}}$		3		$+\infty$
      Signe de $\left(x+{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      Signe de $\left(x-3\right)$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

      ---

      Ainsi, l'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$ est l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{9}{2}};3\right]$

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   3. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la droite $D_g$ avec la parabole $\left(𝒫\right)$.

      Les abscisses des points d'intersection de la droite $D_g$ avec la parabole $\left(𝒫\right)$ sont les solutions de l'équation $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=g\left(x\right)& \iff & f\left(x\right)-g\left(x\right)=0\hfill \\ & \iff & \left(x+{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)\left(x-3\right)=0\hfill \\ & \iff & x=-{\displaystyle \frac{9}{2}}\text{ ou }x=3\hfill \end{array}$$

      Or $f\left(-{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)={\left(-{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{81}{4}}$ et $f\left(3\right)=3^2=9$

      La droite $D_g$ coupe la parabole $\left(𝒫\right)$ en deux points de coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{9}{2}};{\displaystyle \frac{81}{4}}\right)$ et $\left(3;9\right)$

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