contrôle du 17 novembre 2012

Corrigé de l'exercice 2

1. Résoudre dans $ℝ$ l'équation ${\left(x-3\right)}^2=25$.

   • méthode 1

     ${\left(x-3\right)}^2=25$ équivaut à : $$\begin{array}{cccc}& x-3=-5\hfill & \text{ou}& x-3=5\hfill \\ \text{Soit}& x=-2\hfill & \text{ou}& x=8\hfill \end{array}$$

     L'ensemble S des solutions de l'équation ${\left(x-3\right)}^2=25$ est $S=\left\{-2;8\right\}$.

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   • méthode 2

     Pour tout réel x,$$\begin{array}{ccc}{\left(x-3\right)}^2=25& \iff & {\left(x-3\right)}^2-25=0\hfill \\ & \iff & \left(x-3-5\right)\left(x-3+5\right)=0\hfill \\ & \iff & \left(x-8\right)\left(x+2\right)=0\hfill \end{array}$$ Soit $x=8$ ou $x=-2$

     L'ensemble S des solutions de l'équation ${\left(x-3\right)}^2=25$ est $S=\left\{-2;8\right\}$.

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2. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation ${\left(1-2x\right)}^2⩾9$.

   • méthode 1

     Pour tout réel x,$$\begin{array}{ccc}{\left(1-2x\right)}^2⩾9& \iff & {\left(1-2x\right)}^2-9⩾0\hfill \\ & \iff & \left(1-2x-3\right)\left(1-2x+3\right)⩾0\hfill \\ & \iff & \left(-2x-2\right)\left(-2x+4\right)⩾0\hfill \\ & \iff & 4\times \left(x+1\right)\left(x-2\right)⩾0\hfill \end{array}$$

     Étudions le signe du produit $4\times \left(x+1\right)\left(x-2\right)$

     x	$-\infty$		− 1		2		$+\infty$
     Signe de $\left(x+1\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
     Signe de $\left(x-2\right)$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
     Signe de $4\times \left(x+1\right)\left(x-2\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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     L'ensemble S des solutions de l'inéquation ${\left(1-2x\right)}^2⩾9$ est $S=\left]-\infty ;-1\right]\cup \left[2;+\infty \right[$.

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   • méthode 2

     On peut utiliser le résultat de l'exercice 1, $X^2⩾9\iff X\in \left]-\infty ;-3\right]\cup \left[;+\infty \right[$. D'où : $$\begin{array}{ccc}{\left(1-2x\right)}^2⩾9& \iff & 1-2x⩽-3\text{ ou }1-2x⩾3\\ & \iff & -2x⩽-4\text{ ou }-2x⩾2\\ & \iff & x⩾2\text{ ou }x⩽-1\end{array}$$

     L'ensemble S des solutions de l'inéquation ${\left(1-2x\right)}^2⩾9$ est $S=\left]-\infty ;-1\right]\cup \left[2;+\infty \right[$.

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