contrôles en seconde

contrôle du 17 novembre 2012

Corrigé de l'exercice 4

Soit x un réel de l'intervalle $[- 0,5; 3]$ .

Donner un encadrement de $x^{2}$ puis de $x^{2} - 4 x$ .
- encadrement de $x^{2}$
  $x \in [- 0,5; 3]$ équivaut à : $- 0,5 ⩽ x ⩽ 0$ ou $0 ⩽ x ⩽ 3$ . Donc si $x \in [- 0,5; 3]$ alors $0 ⩽ x^{2} ⩽ 0,25$ ou $0 ⩽ x^{2} ⩽ 9$ .
  Si $x \in [- 0,5; 3]$ alors $0 ⩽ x^{2} ⩽ 9$ .
- encadrement de $x^{2} - 4 x$
  Nous avons d'une part, $\begin{matrix} - 0,5 ⩽ x ⩽ 3 & \Leftrightarrow & - 12 ⩽ - 4 x ⩽ 2 \end{matrix}$
  et d'autre part, si $x \in [- 0,5; 3]$ alors $0 ⩽ x^{2} ⩽ 9$ . Par addition membre à membre des deux encadrements, nous pouvons en déduire que :
  Si $x \in [- 0,5; 3]$ alors $- 12 ⩽ x^{2} - 4 x ⩽ 11$ .
1. Montrer que pour tout réel x, $x^{2} - 4 x = {(x - 2)}^{2} - 4$ .
  Pour tout réel x, ${(x - 2)}^{2} - 4 = x^{2} - 4 x + 4 - 4 = x^{2} - 4 x$
  Ainsi, pour tout réel x, $x^{2} - 4 x = {(x - 2)}^{2} - 4$ .
2. En déduire un deuxième encadrement de $x^{2} - 4 x$ .
  $\begin{matrix} - 0,5 ⩽ x ⩽ 3 & \Leftrightarrow & - 2,5 ⩽ x - 2 ⩽ 1 & \Leftrightarrow & - 2,5 ⩽ x - 2 ⩽ 0 ou 0 ⩽ x - 2 ⩽ 1 \end{matrix}$
  Par conséquent, $\begin{matrix} 0 ⩽ {(x - 2)}^{2} ⩽ 6,25 & ou & 0 ⩽ {(x - 2)}^{2} ⩽ 1 \\ \Leftrightarrow & - 4 ⩽ {(x - 2)}^{2} - 4 ⩽ 2,25 & ou & - 4 ⩽ {(x - 2)}^{2} - 4 ⩽ - 3 \end{matrix}$
  Donc, si $x \in [- 0,5; 3]$ alors $- 4 ⩽ x^{2} - 4 x ⩽ 2,25$ .

illustration graphique

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