contrôle du 26 février 2013

Corrigé de l'exercice 1

Donner le tableau des variations complet des fonctions suivantes :

1. f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-3x+1$

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-3x+1\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[x^2-6x+2\right]\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\left(x-3\right)}^2-9+2\right]\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\left(x-3\right)}^2-7\right]\hfill \end{array}$$

   Comme f est une fonction polynôme du second degré, le tableau des variations de de la fonction f est :

   x	– ∞		3		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			$-{\displaystyle \frac{7}{2}}$

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2. g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=\left(1-2x\right)\left(x+3\right)$

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}g\left(x\right)& =& \left(1-2x\right)\left(x+3\right)\hfill \\ & =& x+3-2x^2-6x\hfill \\ & =& -2x^2-5x+3\hfill \end{array}$$

   g est une fonction polynôme du second degré avec $a=-2$ donc g admet un maximum atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit $$x=-{\displaystyle \frac{-5}{2\times \left(-2\right)}}=-{\displaystyle \frac{5}{4}}$$

   Le maximum de la fonction g est : $$g\left(-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)=-2\times {\displaystyle \frac{25}{16}}+5\times {\displaystyle \frac{5}{4}}+3={\displaystyle \frac{49}{8}}$$

   D'où le tableau des variations de de la fonction g :

   x	– ∞		$-{\displaystyle \frac{5}{4}}$		$+\infty$
   $g\left(x\right)$			$\frac{49}{8}$

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