contrôle du 26 février 2013

Corrigé de l'exercice 3

g est la fonction affine telle que $g\left(-1\right)=5$ et $g\left(2\right)=-4$. On note D sa courbe représentative.

1. Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

   La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(2\right)-g\left(-1\right)}{2-\left(-1\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{-4-5}{3}}=-3\end{array}$$

   Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-3x+b$. Comme $g\left(2\right)=-4$, b est solution de l'équation : $$-3\times 2+b=-4\iff b=2$$

   g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-3x+2$.

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2. Soient f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=2x^2-4x-1$ et $C_f$ sa courbe représentative.

   1. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=2\left[{\left(x-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{16}}\right]$

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& 2x^2-4x-1-\left(-3x+2\right)\hfill \\ & =& 2x^2-x-3\hfill \\ & =& 2\times \left[x^2-{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]\hfill \\ & =& 2\times \left[{\left(x-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{1}{16}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]\hfill \\ & =& 2\times \left[{\left(x-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{16}}\right]\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=2\left[{\left(x-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{16}}\right]$

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   2. Étudier les positions relatives de la parabole $C_f$ et de la droite D.

      les positions relatives de la parabole $C_f$ et de la droite D se déduisent du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

      Or pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& 2\left[{\left(x-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{16}}\right]\hfill \\ & =& 2\left(x-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)\hfill \\ & =& 2\left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\left(x+1\right)\hfill \end{array}$$

      Étudions le signe du produit $f\left(x\right)-g\left(x\right)=2\left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\left(x+1\right)$ à l'aide d'un tabeau de signe :

      x	$-\infty$		$-1$		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
      Signe de $\left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Signe de $\left(x+1\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      Signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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      • Sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;-1\right]$ ou $\left[{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ la parabole $C_f$ est au dessus de la droite D.
      • Sur l'intervalle $\left[-1;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]$ la parabole $C_f$ est au dessous de la droite D.
      • La droite D coupe la parabole $C_f$ en deux points d'abscisses respectives $-1$ et ${\displaystyle \frac{3}{2}}$

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