contrôle du 26 février 2013

Corrigé de l'exercice 4

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, M est un point de la droite D d'équation $y=-{\displaystyle \frac{x}{2}}+6$ d'abscisse $a\in \left]0;12\right[$.

1. Déterminer l'aire du rectangle OAMB pour $a=\mathrm{7,2}$.

   Le point $M\left(\mathrm{7,2};y\right)$ appartient à la droite D d'où $$y=-{\displaystyle \frac{\mathrm{7,2}}{2}}+6=\mathrm{2,4}$$

   Comme le repère est orthonormé, l'aire du rectangle OAMB est égale à : $$\mathrm{7,2}\times \mathrm{2,4}=\mathrm{17,28}$$

   Quand l'abscisse du point M est égale à 7,2, l'aire du rectangle OAMB mesure 17,28 .

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2. Pour quelle valeur du réel a l'aire du rectangle OAMB est-elle maximale ? Quelle est alors l'aire du rectangle OAMB ?

   Le point $M\left(a;y\right)$ appartient à la droite D d'où $$y=-{\displaystyle \frac{a}{2}}+6$$

   Comme le repère est orthonormé, l'aire $f\left(a\right)$ du rectangle OAMB est égale à : $$\begin{array}{ccc}f\left(a\right)& =& a\times \left(-{\displaystyle \frac{a}{2}}+6\right)\hfill \\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\times a^2+6a\hfill \\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[a^2-12a\right]\hfill \\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\left(a-6\right)}^2-36\right]\hfill \end{array}$$

   Sur l'intervalle $\left]0;12\right[$ le tableau des variations de de la fonction f est :

   a	0		6		12
   $f\left(x\right)$			18

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   L'aire maximale du rectangle OAMB est égale à 18, obtenue quand l'abscisse du point M est égale à 6.

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