contrôle commun du 05 avril 2013

Corrigé de l'exercice 1

Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses proposées est exacte. Le candidat portera sur sa copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

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partie a

On considère une fonction f définie sur l'intervalle $\left[-6;6\right]$. Le tableau de variations de la fonction f est le suivant :

x	$-6$		$-2$	1	3		6
$f\left(x\right)$	− 2		− 3		4		1

• 1.   L'image de 0 est :

  Sur l'intervalle $\left[-2;1\right]$, f est croissante et $f\left(1\right)=0$ donc $f\left(0\right)⩽0$

  a. égale à 1

  b. négative

  c. positive

• 2.  L'équation $f\left(x\right)=1$ admet :

  Sur l'intervalle $\left[1;3\right]$, f est croissante avec $f\left(1\right)=0$ et $f\left(3\right)=4$ donc l'équation $f\left(x\right)=1$ admet une solution sur l'intervalle $\left[1;3\right]$. D'autre part, $f\left(6\right)=1$. Par conséquent, l'équation $f\left(x\right)=1$ admet deux solutions.

  a. 0 solution

  b. 1 solution

  c. 2 solutions

• 3.  L'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$ est :

  a. $\left[-2;0\right]$

  b. $\left[-3;-2\right]\cup \left[-3;0\right]$

  c. $\left[-6;1\right]$

• 4.  La courbe représentative de la fonction f et la droite d'équation $x=-2$ ont :

  $f\left(-2\right)=-3$ donc la droite d'équation $x=-2$ coupe la courbe représentative de la fonction f en un seul point de coordonnées $\left(-2-3\right)$.

  a. aucun point commun

  b. un point commun

  c. deux points communs

• 5.  

  • Sur l'intervalle $\left[-6;-2\right]$, f est strictement décroissante donc $f\left(-{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)>f\left(-{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$ d'où $f\left(-{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)-f\left(-{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)>0$
  • Sur l'intervalle $\left[1;3\right]$, f est strictement croissante donc $f\left(2\right)>f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ d'où $f\left(2\right)-f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)>0$
  • Sur l'intervalle $\left[3;6\right]$, f est strictement décroissante donc $f\left(4\right)<f\left({\displaystyle \frac{11}{3}}\right)$ d'où $f\left(4\right)-f\left({\displaystyle \frac{11}{3}}\right)<0$

  a. $f\left(-{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)-f\left(-{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)<0$

  b. $f\left(2\right)-f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)<0$

  c. $f\left(4\right)-f\left({\displaystyle \frac{11}{3}}\right)<0$

partie b

• 6.  La courbe représentative de la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=x^2-x-1$ passe par le point de coordonnées :

  $$\begin{array}{ccc}f\left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)& =& {\left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}-1\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{6-2\sqrt{5}}{4}}-{\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}-1\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{6-2\sqrt{5}-2+2\sqrt{5}-4}{4}}\hfill \\ & =& 0\hfill \end{array}$$

  Donc la courbe représentative de la fonction f passe par le point de coordonnées $\left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}};0\right)$

  a. $A\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)$

  b. $B\left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}};0\right)$

  c. $C\left(-2;-3\right)$

• 7.  L'ensemble des solutions de l'inéquation $\left(2-3x\right)\left(2x^2+3\right)⩽0$ est :

  Pour tout réel x, $2x^2+3>0$. Par conséquent, le produit $\left(2-3x\right)\left(2x^2+3\right)$ est du même signe que $2-3x$. Comme $$\begin{array}{ccc}2-3x⩽0& \iff & x⩾{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$

  L'ensemble S des solutions de l'inéquation $\left(2-3x\right)\left(2x^2+3\right)⩽0$ est $S=\left[{\displaystyle \frac{2}{3}};+\infty \right[$

  a. $\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]\cup \left[{\displaystyle \frac{2}{3}};+\infty \right[$

  b. $\left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{2}{3}}\right]$

  c. $\left[{\displaystyle \frac{2}{3}};+\infty \right[$

partie c

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, on considère les points $A\left(-1;2\right)$, $B\left(1;-3\right)$ et $C\left(4;4\right)$.

• 8.  Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :

  Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :$$\begin{array}{ccc}\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{r}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{r}1-\left(-1\right)\\ -3-2\end{array}\right)\iff \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{r}2\\ -5\end{array}\right)\end{array}$$

  a. $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{r}2\\ -5\end{array}\right)$

  b. $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{r}0\\ -1\end{array}\right)$

  c. $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{r}-2\\ 5\end{array}\right)$

• 9.  Le triangle ABC est :

  Le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ est orthonormé, nous pouvons calculer les longueurs des côtés du triangle ABC : $$\begin{array}{ccccc}AB=\sqrt{2^2+{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{29}& \text{;}& AC=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}& \text{et}& BC=\sqrt{3^2+7^2}=\sqrt{58}\end{array}$$

  Ainsi, ${BC}^2={AB}^2+{AC}^2$ alors d'après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

  a. rectangle en A

  b. équilatéral

  c. quelconque

• 10.   M est le milieu du segment [BC] :

  Comme le triangle ABC est rectangle en A, le milieu M de l'hypoténuse BC est le centre du cercle circonscrit au triangle. Donc MA = MB = MC

  a. $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}$

  b. MA = MB

  c. $M\left({\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$

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