contrôles en seconde

contrôle commun du 05 avril 2013

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur par f(x)=x2-x-12.

    1. Déterminer les images respectives par f de 12 et 3.

      f(12)=(12)2-12-12etf(3)=(3)2-3-12=14-12-12=3-3-12=-494=-9-3

      Ainsi, f(12)=-494 et f(3)=-9-3.


    2. Déterminer les antécédents par f de − 12.

      Pour tout réel x, x2-x-12=-12x2-x=0x(x-1)=0Soitx=0  ou  x=1

      Les antécédents par f de − 12 sont 0 et 1.


  1. Vérifier que pour tout réel x, f(x)=(x-12)2-494.
    En déduire une factorisation de f(x).

    • méthode 1

      Pour tout réel x, x2-x-12=(x-12)2-14-12=(x-12)2-494

    • méthode 2

      Pour tout réel x, (x-12)2-494=x2-x+14-494=x2-x-12

    Ainsi, pour tout réel x, f(x)=(x-12)2-494.


    Pour tout réel x, (x-12)2-494=(x-12-72)(x-12+72)=(x-4)(x+3)

    Pour tout réel x, f(x)=(x-4)(x+3).


    1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe représentative de la fonction f avec l'axe des abscisses.

      Les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de la fonction f avec l'axe des abscisses sont solution de l'équation f(x)=0. f(x)=0(x-4)(x+3)=0Soitx=4  ou  x=-3

      La courbe représentative de la fonction f coupe l'axe des abscisses en deux points de coordonnées respectives (-3;0) et (4;0).


    2. Résoudre l'inéquation f(x)0.

      Étudions le signe du produit (x-4)(x+3) à l'aide d'un tabeau de signe :

      x

      - -3 4 +
      Signe de (x-4) |0||+ 
      Signe de (x+3) 0||+|+ 
      Signe de f(x) +0||0||+ 

      L'ensemble S des solutions de l'inéquation f(x)0 est S=]-;-3][4;+[.


    3. Dresser le tableau de variation de f.

      Pour tout réel x, f(x)=x2-x-12=(x-12)2-494

      Comme f est une fonction polynôme du second degré avec a=1 et b=-1, le tableau des variations de de la fonction f est :

      x– ∞ 12 +
      f(x) fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      -494

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 


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