contrôles en seconde

contrôle commun du 05 avril 2013

Corrigé de l'exercice 4

Le plan est muni d'un repère orthonormé (unités graphiques 1 cm sur chaque axe)

Dans le repère ci-dessous, placer les points $A (- 4; - 3)$ , $B (- 1; 3)$ et $C (3; 1)$ .
Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme puis, placer D sur la figure.
ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, $\vec{A B} = \vec{D C}$ .
Or les coordonnés des vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{D C}$ sont : $\begin{matrix} \vec{A B} (\begin{matrix} x_{B} - x_{A} \\ y_{B} - y_{A} \end{matrix}) & Soit & \vec{A B} (\begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix}) & ; & \vec{D C} (\begin{matrix} x_{C} - x_{D} \\ y_{C} - y_{D} \end{matrix}) & Soit & \vec{D C} (\begin{matrix} 3 - x_{D} \\ 1 - y_{D} \end{matrix}) \end{matrix}$
Par conséquent, $\begin{matrix} \vec{A B} = \vec{D C} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} 3 - x_{D} = 3 \\ 1 - y_{D} = 6 \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} x_{D} = 0 \\ y_{D} = - 5 \end{matrix} \end{matrix}$
Les coordonnées du point D sont $D (0; - 5)$
Calculer les coordonnées du centre I du parallélogramme ABCD.
Comme les diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu, I est le milieu du segment [AC] d'où : $\begin{matrix} I (\frac{x_{A} + x_{C}}{2}; \frac{y_{A} + y_{C}}{2}) & Soit & I (- \frac{1}{2}; - 1) \end{matrix}$
Le centre I du parallélogramme ABCD a pour coordonnées $I (- \frac{1}{2}; - 1)$ .
Soit M le point défini par $6 \vec{B M} = 4 \vec{A C} + 7 \vec{C B}$ .
1. Démontrer que $\vec{B M} = - \frac{2}{3} \vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C}$ .
  $\begin{matrix} 6 \vec{B M} = 4 \vec{A C} + 7 \vec{C B} & \Leftrightarrow & 6 \vec{B M} = 4 (\vec{A B} + \vec{B C}) - 7 \vec{B C} \\ \Leftrightarrow & 6 \vec{B M} = 4 \vec{A B} - 3 \vec{B C} \\ \Leftrightarrow & \vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{B C} \end{matrix}$
  M est le point défini par $\vec{B M} = - \frac{2}{3} \vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C}$ .
2. Construire le point M sur la figure (on laissera apparents les traits de construction).
3. Calculer les coordonnées de M.
  - $\vec{A B} (\begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix})$ d'où les coordonnées du vecteur $\frac{2}{3} \vec{A B}$ sont $(\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$ .
  - $\vec{B C} (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \end{matrix})$ d'où les coordonnées du vecteur $- \frac{1}{2} \vec{B C}$ sont $(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix})$ .
  Par conséquent, le vecteur $\vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{B C}$ a pour coordonnées $\vec{B M} (\begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix})$ . D'où, les coordonnées $(x_{M}; y_{M})$ du point M vérifient : $\begin{matrix} (\begin{matrix} x_{M} + 1 \\ y_{M} - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} x_{M} + 1 = 0 \\ y_{M} - 3 = 5 \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} x_{M} = - 1 \\ y_{M} = 8 \end{matrix} \end{matrix}$
  Le point M tel que $\vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{B C}$ a pour coordonnées $M (- 1; 8)$ .
Les points D, I et M sont-ils alignés ? Justifier la réponse.
Les coordonnées respectives des vecteurs $\vec{D I}$ et $\vec{D M}$ sont : $\vec{D I} (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ 4 \end{matrix})$ et $\vec{D M} (\begin{matrix} - 1 \\ 13 \end{matrix})$ .
Il n'existe pas de réel k tel que $\vec{D M} = k \vec{D I}$ donc les vecteurs $\vec{D M}$ et $\vec{D I}$ ne sont pas colinéaires.
Les vecteurs $\vec{D M}$ et $\vec{D I}$ ne sont pas colinéaires donc les points D, I et M ne sont pas alignés.

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