contrôle commun du 05 avril 2013

Corrigé de l'exercice 3

Le plan est muni d'un repère orthonormé (unités graphiques 1 cm sur chaque axe)

1. Dans le repère ci-dessous, tracer la droite $d_1$ d'équation $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+\mathrm{2,5}$

   La droite $d_1$ d'équation $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+\mathrm{2,5}$ passe par les points de coordonnées $A\prime \left(0;\mathrm{2,5}\right)$ et $B\prime \left(3;\mathrm{0,5}\right)$

2. Déterminer une équation de la droite $d_2$ qui passe par les points $A\left(-4;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ et $B\left(1;{\displaystyle \frac{13}{2}}\right)$

   • méthode 1

     Les points A et B n'ont pas la même abscisse donc la droite $d_2$ a pour équation $y=ax+b$ avec $$\begin{array}{lll}a={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{\mathrm{6,5}-\mathrm{0,5}}{1+4}}={\displaystyle \frac{6}{5}}\end{array}$$

     Le point $B\left(1;{\displaystyle \frac{13}{2}}\right)$ est un point de la droite $d_2$ d'où : $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{6}{5}}\times 1+b={\displaystyle \frac{13}{2}}& \iff & b={\displaystyle \frac{13}{2}}-{\displaystyle \frac{6}{5}}={\displaystyle \frac{53}{10}}\end{array}$$

     La droite $d_2$ a pour équation $y={\displaystyle \frac{6}{5}}x+\mathrm{5,3}$.

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   • méthode 2

     La droite (AB) est l'ensemble des points $M\left(x;y\right)$ du plan tels que les vecteurs $\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}x+4\\ y-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}5\\ 6\end{array}\right)$ sont colinéaires. Soit $$\begin{array}{ccc}6\times \left(x+4\right)-5\times \left(y-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=0& \iff & 6x-5y+{\displaystyle \frac{53}{2}}=0\hfill \\ & \iff & y={\displaystyle \frac{6}{5}}x+{\displaystyle \frac{53}{10}}\hfill \end{array}$$

     La droite $d_2$ a pour équation $y={\displaystyle \frac{6}{5}}x+\mathrm{5,3}$.

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3. Calculer les coordonnées du point I intersection des droites $d_1$ et $d_2$.

   Les coordonnées du point d'intersection des droites $d_1$ et $d_2$ sont solutions du système : $$\begin{array}{lllll}\{\begin{array}{rcl}y& =& -{\displaystyle \frac{2}{3}}x+\mathrm{2,5}\\ y& =& {\displaystyle \frac{6}{5}}x+\mathrm{5,3}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+\mathrm{2,5}& =& {\displaystyle \frac{6}{5}}x+\mathrm{5,3}\\ y& =& {\displaystyle \frac{6}{5}}x+\mathrm{5,3}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}-{\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{6}{5}}x& =& \mathrm{5,3}-\mathrm{2,5}\\ y& =& {\displaystyle \frac{6}{5}}x+\mathrm{5,3}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}-{\displaystyle \frac{28}{15}}x& =& \mathrm{2,8}\\ y& =& {\displaystyle \frac{6}{5}}x+\mathrm{5,3}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& -\mathrm{1,5}\\ y& =& {\displaystyle \frac{6}{5}}x+\mathrm{5,3}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& -\mathrm{1,5}\\ y& =& {\displaystyle \frac{6}{5}}\times \left(-\mathrm{1,5}\right)+\mathrm{5,3}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& -\mathrm{1,5}\\ y& =& \mathrm{3,5}\end{array}\end{array}$$

   Ainsi, le point I intersection des droites $d_1$ et $d_2$ a pour coordonnées $I\left(-\mathrm{1,5};\mathrm{3,5}\right)$.

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