contrôle du 18 décembre 2014

Corrigé de l'exercice 2

f est une fonction polynôme du second degré telle que sa courbe représentative est la parabole de sommet $S\left({\displaystyle \frac{5}{3}};-4\right)$ passant par le point $A\left({\displaystyle \frac{2}{3}};-3\right)$.

1. Donner le tableau de variation de la fonction f.

   $S\left({\displaystyle \frac{5}{3}};-4\right)$ est le sommet de la parabole donc l'extremum de la fonction f est atteint pour $x={\displaystyle \frac{5}{3}}$.

   D'autre part, $f\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)>f\left({\displaystyle \frac{5}{3}}\right)$ donc f est décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{5}{3}}\right]$

   Nous pouvons en déduire le tableau de variation de la fonction f

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{5}{3}}$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			$-4$

2. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$.

   f est une fonction polynôme du second degré dont la parabole a pour sommet $S\left({\displaystyle \frac{5}{3}};-4\right)$ donc la forme canonique de la fonction est :$$f\left(x\right)=a{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)}^2-4$$

   Le point $A\left({\displaystyle \frac{2}{3}};-3\right)$ appartient à la courbe représentative de la fonction f donc $f\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)=-3$. D'où $$\begin{array}{ccc}a\times {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)}^2-4=-3& \iff & a=1\end{array}$$

   Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par :$$\begin{array}{lll}f\left(x\right)={\left(x-{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)}^2-4& \iff & f\left(x\right)=\left(x-{\displaystyle \frac{5}{3}}-2\right)\left(x-{\displaystyle \frac{5}{3}}+2\right)\\ & \iff & f\left(x\right)=\left(x-{\displaystyle \frac{11}{3}}\right)\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\end{array}$$

   Étudions le signe de $f\left(x\right)$ à l'aide d'un tableau :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{3}}$		${\displaystyle \frac{11}{3}}$		$+\infty$
   $\left(x-{\displaystyle \frac{11}{3}}\right)$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   Signe de $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   L'ensemble solution de l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$ est l'intervalle $I=\left[-{\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{11}{3}}\right]$.

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