contrôle du 18 décembre 2014

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x}{2}}+7$. On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal.
La parabole $C_f$ est tracée ci-dessous.

1. 1. Le point $A\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};5\right)$ appartient-il à la parabole $C_f$ ?

      $$f\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)+7=-{\displaystyle \frac{9}{8}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}+7={\displaystyle \frac{41}{8}}$$

      $f\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\ne 5$ donc le point $A\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};5\right)$ n'appartient pas à la parabole $C_f$.

      ---

   2. Donner le tableau des variations de la fonction f.

      f est une fonction polynôme du second degré avec $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, $b={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $c=7$.

      Comme $a<0$, la fonction f admet un maximum atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit $$x=-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{-1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

      Le maximum de la fonction f est : $$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}+7=-{\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+7={\displaystyle \frac{57}{8}}$$

      D'où le tableau des variations de de la fonction f :

      x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		$+\infty$
      $f\left(x\right)$			${\displaystyle \frac{57}{8}}$

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   3. Soit a un réel de l'intervalle $\left[-1;4\right]$. Déterminer un encadrement de $f\left(a\right)$.

      • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right]$, la fonction f est croissante donc si $-1⩽a⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$ alors, $$\begin{array}{ccc}f\left(-1\right)⩽f\left(a\right)⩽f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)& \iff & 6⩽f\left(a\right)⩽{\displaystyle \frac{57}{8}}\end{array}$$

      • Sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$, la fonction f est décroissante donc si ${\displaystyle \frac{1}{2}}⩽a⩽4$ alors, $$\begin{array}{ccc}f\left(4\right)⩽f\left(a\right)⩽f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)& \iff & 1⩽f\left(a\right)⩽{\displaystyle \frac{57}{8}}\end{array}$$

      Ainsi, si $-1⩽a⩽4$ alors, $1⩽f\left(a\right)⩽{\displaystyle \frac{57}{8}}$.

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2. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-2\right)=6$ et $g\left(4\right)=-3$.

   1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(4\right)-g\left(-2\right)}{4-\left(-2\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{-3-6}{6}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\times x+b$. Or $g\left(-2\right)=6$ d'où $$3+b=6\iff b=3$$

      g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+3$.

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   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère précédent.

3. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\left(x-2\right)}^2-12\right]$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& -{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x}{2}}+7-\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+3\right)\\ & =& -{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x+4\\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[x^2-4x-8\right]\\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\left(x-2\right)}^2-4-8\right]\\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\left(x-2\right)}^2-12\right]\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\left(x-2\right)}^2-12\right]$.

      ---

   2. Étudier le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.
      En déduire les positions relatives de la parabole $C_f$ et de la droite D.

      Pour tout réel x, $$f\left(x\right)-g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\left(x-2\right)}^2-12\right]=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(x-2-\sqrt{12}\right)\left(x-2+\sqrt{12}\right)$$

      Étudions le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ à l'aide d'un tableau :

      x	$-\infty$		$2-\sqrt{12}$		$2+\sqrt{12}$		$+\infty$
      $\left(x-2-\sqrt{12}\right)$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $\left(x-2+\sqrt{12}\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      Signe de $$f\left(x\right)-g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(x-2-\sqrt{12}\right)\left(x-2+\sqrt{12}\right)$$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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      Les positions relatives de la parabole $C_f$ et de la droite D se déduisent du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

      • Sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;2-2\sqrt{3}\right]$ ou $\left[2+2\sqrt{3};+\infty \right[$ la parabole $C_f$ est au dessous de la droite D.
      • Sur l'intervalle $\left[2-2\sqrt{3};2+2\sqrt{3}\right]$ la parabole $C_f$ est au dessus de la droite D.
      • La droite D coupe la parabole $C_f$ en deux points d'abscisses $2-2\sqrt{3}$ et $2+2\sqrt{3}$.

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