contrôle du 18 décembre 2014

Corrigé de l'exercice 4

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.

1. Placer les points $A\left(-2;1\right)$, $B\left(5;5\right)$, $C\left(6;-3\right)$ et $E\left(-\mathrm{3,5};0\right)$.

2. Les points A, B et E sont-ils alignés ?

   Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AE}$ :$$\begin{array}{cccccc}& \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}5+2\\ 5-1\end{array}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)\\ \text{et}& \overrightarrow{AE}\left(\begin{array}{c}{x}_E-x_A\\ y_E-y_A\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AE}\left(\begin{array}{c}-\mathrm{3,5}+2\\ 0-1\end{array}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{AE}\left(\begin{array}{c}-\mathrm{1,5}\\ -1\end{array}\right)\end{array}$$

   Comme $7\times \left(-1\right)-4\times \left(-\mathrm{1,5}\right)=-1$, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AE}$ ne sont pas colinéaires.

   Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AE}$ ne sont pas colinéaires donc les points A, B et E ne sont pas alignés.

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3. Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [AC].

   Les coordonnées $\left(x_M;y_M\right)$ du point M milieu du segment [AC] sont :$$\begin{array}{ccc}{x}_M={\displaystyle \frac{x_A+x_C}{2}}& \text{Soit}& x_M={\displaystyle \frac{-2+6}{2}}=2\\ y_M={\displaystyle \frac{y_A+y_C}{2}}& \text{Soit}& y_M={\displaystyle \frac{1-3}{2}}=-1\end{array}$$

   Le point M a pour coordonnées $M\left(2;-1\right)$.

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4. 1. Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

      Il suffit que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

      Or les coordonnés des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont : $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{DC}\left(\begin{array}{c}6-x_D\\ -3-y_D\end{array}\right)$.

      Par conséquent, $$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}& \iff & \{\begin{array}{l}6-x_D=7\\ -3-y_D=4\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}{x}_D=-1\\ y_D=-7\end{array}\end{array}$$

      Les coordonnées du point D sont $D\left(-1;-7\right)$.

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   2. Quelle est la nature du triangle MAB ?

      Calculons les longueurs des trois côté du triangle MAB :$$\begin{array}{llll}& AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}& \text{Soit}& AB=\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{65}\\ & MA=\sqrt{{\left(x_A-x_M\right)}^2+{\left(y_A-y_M\right)}^2}& \text{Soit}& MA=\sqrt{{\left(-2-2\right)}^2+{\left(1+1\right)}^2}=\sqrt{20}\\ \text{et}& MB=\sqrt{{\left(x_B-x_M\right)}^2+{\left(y_B-y_M\right)}^2}& \text{Soit}& MB=\sqrt{{\left(5-2\right)}^2+{\left(5+1\right)}^2}=\sqrt{45}\end{array}$$

      Ainsi, ${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{MA}}^2+{\mathrm{MB}}^2$ d'après la réciproque du théorème de Pythagore :

      MAB est un triangle rectangle en M.

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   3. Préciser la nature du quadrilatère ABCD.

      M est le milieu du segment [AC] donc M est le point d'intersection des diagonales du parallélogramme ABCD.
      Or MAB est un triangle rectangle en M donc les diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires.

      Le parallélogramme ABCD dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

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