contrôle du 12 mars 2015

Corrigé de l'exercice 3

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.

1. On considère les points $A\left(2;-1\right)$ et $B\left(-1;0\right)$. Déterminer une équation de la droite (AB).

   Les points A et B n'ont pas la même abscisse donc la droite (AB) n(est pas parallèle à l'axe des ordonnées. Le coefficient directeur m de la droite (AB) est :$$\begin{array}{ccc}m={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{Soit}& m={\displaystyle \frac{0+1}{-1-2}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$

   $B\left(-1;0\right)$ est un point de la droite (AB) par conséquent, la droite (AB) a pour équation : $$\begin{array}{lll}y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\times \left(x+1\right)+0& \iff & y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$

   La droite (AB) a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}$.

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2. Déterminer une équation de la droite D passant par le point $C\left(1;-4\right)$ et ayant pour vecteur directeur le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$.

   Comme $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de la droite D, le vecteur $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}1\\ {\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}\right)$ est aussi un vecteur directeur de la droite D. Par conséquent, la droite D a pour équation $y={\displaystyle \frac{4}{3}}x+p$

   D'autre part, le point $C\left(1;-4\right)$ appartient à la droite D donc la droite D a pour équation : $$\begin{array}{lll}y={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \left(x-1\right)-4& \iff & y={\displaystyle \frac{4}{3}}x-{\displaystyle \frac{16}{3}}\end{array}$$

   La droite D a pour équation $y={\displaystyle \frac{4}{3}}x-{\displaystyle \frac{16}{3}}$.

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3. Justifier que les droites (AB) et D sont sécantes puis, calculer les coordonnées de leur point d'intersection M.

   Les coefficients directeurs des droites (AB) et D ne sont pas égaux donc ces deux droites sont sécantes.

   Les coordonnées du point M d'intersection des droites (AB) et D sont solution du système : $$\begin{array}{lllllll}\{\begin{array}{c}y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ y={\displaystyle \frac{4}{3}}x-{\displaystyle \frac{16}{3}}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}x-{\displaystyle \frac{16}{3}}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ -{\displaystyle \frac{5}{3}}x=-5\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}y=-{\displaystyle \frac{4}{3}}\\ x=3\end{array}\end{array}$$

   Les droites (AB) et D sont sécantes en $M\left(3;-{\displaystyle \frac{4}{3}}\right)$.

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