contrôle du 12 mars 2015

Corrigé de l'exercice 4

ABCD est un rectangle tel que $AB=10$ et $AD=8$.
M étant un point du segment [AB], on construit le quadrilatère MNPQ comme indiqué sur la figure ci-dessous, avec $AM=BN=CP=DQ=x$ et $x\in \left[0;8\right]$.

1. Exprimer en fonction de x l'aire du triangle AMQ ainsi que l'aire du triangle MBN.

   Comme $AB=10$, $AD=8$ et $AM=BN=CP=DQ=x$ alors, $AQ=CN=8-x$ et $BM=DP=10-x$.

   L'aire a du triangle AMQ est :$$a={\displaystyle \frac{x\times \left(8-x\right)}{2}}={\displaystyle \frac{8x-x^2}{2}}$$

   L'aire b du triangle MBN est :$$b={\displaystyle \frac{x\times \left(10-x\right)}{2}}={\displaystyle \frac{10x-x^2}{2}}$$

   L'aire a du triangle AMQ est égale à ${\displaystyle \frac{8x-x^2}{2}}$ et celle du triangle MBN est égale à ${\displaystyle \frac{10x-x^2}{2}}$.

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2. On note $f\left(x\right)$ l'aire du quadrilatère MNPQ.

   1. Exprimer en fonction de x l'aire du quadrilatère MNPQ.

      L'aire du quadrilatère MNPQ est égale à la différence entre l'aire du rectangle ABCD et la somme des aires des triangles AMQ, MBN, CNP et PDQ d'où $$f\left(x\right)=80-\left(2\times {\displaystyle \frac{8x-x^2}{2}}+2\times {\displaystyle \frac{10x-x^2}{2}}\right)=2x^2-18x+80$$

      Ainsi, $f\left(x\right)=2x^2-18x+80$.

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   2. Donner le tableau de variation de la fonction f.

      f est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;8\right]$ par $f\left(x\right)=2x^2-18x+80$. f est la restriction d'une fonction polynôme du second degré avec $a=2$, $b=-18$ et $c=80$.

      Comme $a>0$, la fonction f admet un minimum atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit $x={\displaystyle \frac{18}{4}}={\displaystyle \frac{9}{2}}$

      Le tableau des variations de la fonction f est :

      x	0		${\displaystyle \frac{9}{2}}$		8
      $f\left(x\right)$

   3. En déduire la valeur minimale de l'aire du quadrilatère MNPQ.

      Le minimum de la fonction f est atteint pour $x={\displaystyle \frac{9}{2}}$ et $$f\left({\displaystyle \frac{9}{2}}\right)=2\times {\left({\displaystyle \frac{9}{2}}\right)}^2-18\times {\displaystyle \frac{9}{2}}+80={\displaystyle \frac{79}{2}}$$

      La valeur minimale de l'aire du quadrilatère MNPQ est égale à 39,5.

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