contrôle du 9 janvier 2016

Sujet B : Corrigé de l'exercice 1

1. Parmi les fonctions polynômes du second degré ci-dessous, quelles sont celles qui ont le même tableau de variation que la fonction f ?

   Une fonction polynôme du second degré est définie pour tout réel x par $x\mapsto a{x}^2+bx+c$ avec $a\ne 0$

   Le maximum de la fonction f est atteint pour $x=1$ et est égal à $-2$. Nous pouvons en déduire que : $a>0$ ; $-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=1$ et $f\left(1\right)=-2$

   Les fonctions A et D sont les seules qui vérifient les trois conditions

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   $A\left(x\right)=2x^2-4x$ ;	$B\left(x\right)=-x^2+2x-3$ ;	$C\left(x\right)=\mathrm{0,5}{x}^2+x-\mathrm{1,5}$ ;	$D\left(x\right)=x^2-2x-1$ ;
   	$\left(a<0\right)$	$\left(-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-1\right)$

2. f est une fonction polynôme du second degré telle que $f\left(-1\right)=0$.
   Donner le tableau du signe de la fonction f.

   Le minimum de la fonction f est égal à $-2$, atteint pour $x=1$ et $f\left(-1\right)=0$ alors, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une deuxième solution $x_0\in \left[1;+\infty \right[$ telle que :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{x_0-1}{2}}=1& \iff & x_0-1=2\\ & \iff & x_0=3\end{array}$$

   Nous pouvons compléter le tableau de variation de la fonction f en indiquant les solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ :

   x	$-\infty$	$-1$	1	3	$+\infty$
   $f\left(x\right)$			$-2$

   Le tableau du signe de $f\left(x\right)$ se déduit des variations de la fonction :

   x	$-\infty$		$-1$		3		$+\infty$
   Signe de $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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