contrôle du 9 janvier 2016

Sujet A : Corrigé de l'exercice 2

partie a

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=x^2-3x-1$.

1. Donner le tableau de variation de la fonction f.

   f est une fonction polynôme du second degré avec $a=1$, $b=-3$ et $c=-1$.

   La fonction f admet un minimum atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit pour $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ et, $$f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{9}{4}}-{\displaystyle \frac{9}{2}}-1=-{\displaystyle \frac{13}{4}}$$

   D'où le tableau de variations de la fonction f :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			$-{\displaystyle \frac{13}{4}}$

2. Calculer $f\left(-1\right)$. En déduire les solutions de l'équation $f\left(x\right)=3$.

   $$f\left(-1\right)=1+3-1=3$$

   Comme $f\left(-1\right)>-{\displaystyle \frac{13}{4}}$ alors, l'équation $f\left(x\right)=3$ admet une deuxième solution $x_0\in \left[{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ telle que :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{x_0-1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}& \iff & x_0-1=3\\ & \iff & x_0=4\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)=3$ est $S=\left\{-1;4\right\}$.

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3. Si m est un réel appartenant à l'intervalle $\left[0;4\right]$ peut-on affirmer que $-1⩽f\left(m\right)⩽3$ ?

   ${\displaystyle \frac{3}{2}}\in \left[0;4\right]$ et $f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{13}{4}}$ donc si m est un réel appartenant à l'intervalle $\left[0;4\right]$, l'affirmation $-1⩽f\left(m\right)⩽3$ est fausse.

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partie b

La courbe $C_f$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-1\right)=5$ et $g\left(5\right)=-4$.

   1. Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(5\right)-g\left(-1\right)}{5-\left(-1\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{-4-5}{6}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+b$. Or $g\left(-1\right)=5$ d'où $${\displaystyle \frac{3}{2}}+b=5\iff b={\displaystyle \frac{7}{2}}$$

      g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{7}{2}}$.

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   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère précédent.

      La courbe représentative de la fonction affine g est la droite D passant par les points de coordonnées $\left(-1;5\right)$ et $\left(5;-4\right)$.

2. 1. Montrer que $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{81}{16}}$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& x^2-3x-1+{\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{7}{2}}\\ & =& x^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{9}{2}}\\ & =& {\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{9}{16}}-{\displaystyle \frac{9}{2}}\\ & =& {\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{81}{16}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{81}{16}}$.

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   2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la parabole $C_f$ et de la droite D.

      $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)=0& \iff & {\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{81}{16}}=0\\ & \iff & \left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{9}{4}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{9}{4}}\right)=0\\ & \iff & \left(x-3\right)\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=0\\ & \iff & x=3\text{ ou }x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

      La droite D coupe la parabole $C_f$ en deux points d'abscisses respectives $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ et 3. $$\begin{array}{ccc}g\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{9}{4}}+{\displaystyle \frac{7}{2}}={\displaystyle \frac{23}{4}}& \text{et}& g\left(3\right)=-{\displaystyle \frac{9}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{2}}=-1\end{array}$$

      La droite D coupe la parabole $C_f$ en deux points de coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{23}{4}}\right)$ et $\left(3;-1\right)$.

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