contrôle du 9 janvier 2016

Sujet B : Corrigé de l'exercice 2

partie a

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=x^2-3x-1$.

1. Donner le tableau de variation de la fonction f.

   f est une fonction polynôme du second degré avec $a=1$, $b=-3$ et $c=-1$.

   La fonction f admet un minimum atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit pour $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ et, $$f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{9}{4}}-{\displaystyle \frac{9}{2}}-1=-{\displaystyle \frac{13}{4}}$$

   D'où le tableau de variations de la fonction f :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			$-{\displaystyle \frac{13}{4}}$

2. Calculer $f\left(3\right)$. En déduire les solutions de l'équation $f\left(x\right)=-1$.

   $$f\left(3\right)=9-9-1=-1$$

   Comme $f\left(3\right)>-{\displaystyle \frac{13}{4}}$ alors, l'équation $f\left(x\right)=-1$ admet une deuxième solution $x_0\in \left]-\infty ;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right[$. Or $f\left(0\right)=-1$.

   L'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)=-1$ est $S=\left\{0;2\right\}$.

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3. Si m est un réel appartenant à l'intervalle $\left[-1;3\right]$ peut-on affirmer que $-1⩽f\left(m\right)⩽3$ ?

   ${\displaystyle \frac{3}{2}}\in \left[-1;3\right]$ et $f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{13}{4}}$ donc si m est un réel appartenant à l'intervalle $\left[-1;3\right]$, l'affirmation $-1⩽f\left(m\right)⩽3$ est fausse.

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partie b

La courbe $C_f$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-2\right)=6$ et $g\left(2\right)=4$.

   1. Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(2\right)-g\left(-2\right)}{2-\left(-2\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{4-6}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+b$. Or $g\left(-2\right)=6$ d'où $$1+b=6\iff b=5$$

      g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+5$.

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   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère précédent.

      La courbe représentative de la fonction affine g est la droite D passant par les points de coordonnées $\left(-2;6\right)$ et $\left(2;4\right)$.

2. 1. Montrer que $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{121}{16}}$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& x^2-3x-1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-5\\ & =& x^2-{\displaystyle \frac{5}{2}}x-6\\ & =& {\left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{16}}-6\\ & =& {\left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{121}{16}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{121}{16}}$.

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   2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la parabole $C_f$ et de la droite D.

      $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)=0& \iff & {\left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{121}{16}}=0\\ & \iff & \left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}-{\displaystyle \frac{11}{4}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}+{\displaystyle \frac{11}{4}}\right)=0\\ & \iff & \left(x-4\right)\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=0\\ & \iff & x=4\text{ ou }x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

      La droite D coupe la parabole $C_f$ en deux points d'abscisses respectives $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ et 4. $$\begin{array}{ccc}g\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}+5={\displaystyle \frac{23}{4}}& \text{et}& g\left(4\right)=-2+5=3\end{array}$$

      La droite D coupe la parabole $C_f$ en deux points de coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{23}{4}}\right)$ et $\left(4;3\right)$.

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