contrôle du 19 février 2016

Corrigé de l'exercice 1

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, on a tracé la droite $d_1$ d'équation $y={\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{13}{2}}$.

1. 1. Placer les points $A\left(-4;7\right)$, $B\left(-7;-4\right)$ et $C\left(8;-1\right)$.

      Voir figure

   2. Le point $B\left(-7;-4\right)$ appartient-il à la droite $d_1$ ?

      $${\displaystyle \frac{3}{2}}\times \left(-7\right)+{\displaystyle \frac{13}{2}}=-4$$

      Les coordonnées du point B vérifient l'équation de de la droite $d_1$ donc B appartient à la droite $d_1$.

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2. 1. Tracer la droite $d_2$ passant par le point $A\left(-4;7\right)$ et ayant pour vecteur directeur le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{r}1\\ -5\end{array}\right)$.

   2. Déterminer une équation de la droite $d_2$.

      Comme $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{r}1\\ -5\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de la droite $d_2$, la droite $d_2$ a pour équation $y=-5x+p$.

      Or le point $A\left(-4;7\right)$ appartient à la droite $d_2$, donc $$\begin{array}{ccc}-5\times \left(-4\right)+p=7& \iff & p=-13\end{array}$$

      La droite $d_2$ a pour équation $y=-5x-13$.

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   3. Résoudre le système $S:\{\begin{array}{l}y=-5x-13\\ y={\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{13}{2}}\end{array}$. Interpréter graphiquement le résultat.

      $$\begin{array}{rcl}\{\begin{array}{l}y=-5x-13\\ y={\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{13}{2}}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}y=-5x-13\\ -5x-13={\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{13}{2}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}y=-5x-13\\ -5x-{\displaystyle \frac{3}{2}}x=13+{\displaystyle \frac{13}{2}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}y=-5x-13\\ -{\displaystyle \frac{13}{2}}x={\displaystyle \frac{39}{2}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}y=2\\ x=-3\end{array}\end{array}$$

      Les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes au point de coordonnées $\left(-3;2\right)$.

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3. Soit J le milieu du segment [AC]. Déterminer une équation de la médiane (BJ) du triangle ABC.

   • Les coordonnées $\left(x_J;y_J\right)$ du point J milieu du segment [AC] sont :$$\begin{array}{ccc}{x}_J={\displaystyle \frac{x_A+x_C}{2}}& \text{Soit}& x_J={\displaystyle \frac{-4-8}{2}}=2\\ y_J={\displaystyle \frac{y_A+y_C}{2}}& \text{Soit}& y_J={\displaystyle \frac{-1+7}{2}}=3\end{array}$$

     Le point J a pour coordonnées $\left(4;6\right)$.

   • Les points B et J n'ont pas la même abscisse donc la droite (BJ) admet une équation de la forme $y=mx+p$ avec $m={\displaystyle \frac{y_J-y_B}{x_J-x_B}}$. Soit $$m={\displaystyle \frac{3+4}{2+7}}={\displaystyle \frac{7}{9}}$$

     Comme le point $J\left(4;6\right)$ appartient à la droite (BJ), on en déduit que $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{7}{9}}\times 2+p=3& \iff & p={\displaystyle \frac{13}{9}}\end{array}$$

     La médiane (BJ) du triangle ABC a pour équation $y={\displaystyle \frac{7}{9}}x+{\displaystyle \frac{13}{9}}$.

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4. Soit H le point de coordonnées $\left(-3;2\right)$.

   1. Calculer les coordonnées du point G tel que $3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OH}$.

      Soit $G\left(x;y\right)$, les coordonnés des vecteurs $\overrightarrow{OG}$ et $\overrightarrow{OH}$ sont : $\overrightarrow{OG}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{OH}\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right)$.

      Par conséquent, $$\begin{array}{lll}3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OH}& \iff & \{\begin{array}{l}3x=-3\\ 3y=2\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}x=-1\\ y={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\end{array}$$

      Les coordonnées du point G sont $G\left(-1;{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)$.

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   2. Soit I le milieu du segment [BC]. Montrer que les points A, G et I sont alignés.

      • Les coordonnées $\left(x_I;y_I\right)$ du point I milieu du segment [BC] sont :$$\begin{array}{c}{x}_I={\displaystyle \frac{-7+8}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ y_I={\displaystyle \frac{-4-1}{2}}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$$

        Le point I a pour coordonnées $I\left({\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

      • Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AG}$ :$$\begin{array}{cccccc}& \overrightarrow{AI}\left(\begin{array}{c}{x}_I-x_A\\ y_I-y_A\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AI}\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}}+4\\ -{\displaystyle \frac{5}{2}}-7\end{array}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{AI}\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{9}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{19}{2}}\end{array}\right)\\ \text{et}& \overrightarrow{AG}\left(\begin{array}{c}{x}_G-x_A\\ y_G-y_A\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AG}\left(\begin{array}{c}-1+4\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}-7\end{array}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{AG}\left(\begin{array}{c}3\\ -{\displaystyle \frac{19}{3}}\end{array}\right)\end{array}$$

        Comme ${\displaystyle \frac{9}{2}}\times \left(-{\displaystyle \frac{19}{3}}\right)-3\times \left(-{\displaystyle \frac{19}{2}}\right)=0$ alors, les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AG}$ sont colinéaires.

      Les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AG}$ sont colinéaires donc les points A, G et I sont alignés.

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   3. Justifier que le point G est le centre de gravité du triangle ABC.

      • Les points A, G et I sont alignés donc G est un point de la médiane (AI) du triangle ABC.

      • Vérifions que le point $G\left(-1;{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)$ appartient à la médiane (BJ) d'équation $y={\displaystyle \frac{7}{9}}x+{\displaystyle \frac{13}{9}}$.

        $${\displaystyle \frac{7}{9}}\times \left(-1\right)+{\displaystyle \frac{13}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$

        Les coordonnées du point G vérifient l'équation de la droite (BJ) donc G est un point de la médiane (BJ) du triangle ABC.

      G est le point d'intersection des deux médianes (AI) et (BJ) donc G est le centre de gravité du triangle ABC.

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