contrôle du 19 février 2016

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=3x^2+8x-16$.

1. Recopier et compléter le tableau de valeurs de la fonction f suivant :

   À l'aide de la calculatrice on détermine les différentes valeurs de $f\left(x\right)$

   x	$-5$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	0	1	2	3
   $f\left(x\right)$	19	0	$-13$	$-20$	$-21$	$-16$	$-5$	12	35

2. Tracer la courbe $C_f$ représentative de la fonction f dans le repère ci-dessous. (Les quatre points appartiennent à la courbe $C_f$)

3. 1. Donner le tableau de variation de la fonction f.

      f est une fonction polynôme du second degré avec $a=3$, $b=8$ et $c=-16$.

      La fonction f admet un minimum atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit pour $x=-{\displaystyle \frac{8}{2\times 3}}=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$ et, $$f\left(-{\displaystyle \frac{4}{3}}\right)=3\times {\displaystyle \frac{16}{9}}-8\times {\displaystyle \frac{4}{3}}-16=-{\displaystyle \frac{64}{3}}$$

      D'où le tableau de variations de la fonction f :

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{4}{3}}$		$+\infty$
      $f\left(x\right)$			$-{\displaystyle \frac{64}{3}}$

   2. Quelles sont les coordonnées du sommet S de la parabole $C_f$ ?

      Le sommet S de la parabole $C_f$ a pour coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{4}{3}};-{\displaystyle \frac{64}{3}}\right)$.

      ---

   3. Quelles sont les solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ ?

      Le minimum de la fonction f est égal à $-{\displaystyle \frac{64}{3}}$, atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$ et $f\left(-4\right)=0$ alors, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet $x_1=-4$ comme solution ainsi qu'une deuxième solution $x_2\in \left[-{\displaystyle \frac{4}{3}};+\infty \right[$ telle que :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}=-{\displaystyle \frac{4}{3}}& \iff & {\displaystyle \frac{x_2-4}{2}}=-{\displaystyle \frac{4}{3}}\\ & \iff & x_2-4=-{\displaystyle \frac{8}{3}}\\ & \iff & x_2={\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}$$

      L'ensemble S des solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ est $S=\left\{-4;{\displaystyle \frac{4}{3}}\right\}$.

      ---

4. 1. Vérifier que pour tout réel x, $f\left(x\right)=\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}\left(3x-4\right)\left(x+4\right)& =& 3x^2+12x-4x-16\\ & =& 3x^2+8x-16\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)=\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$.

      ---

   2. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$.

      • méthode 1

        À partir du tableau de variation de la fonction f en indiquant les solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ :

        x	$-\infty$	$-4$	$-{\displaystyle \frac{4}{3}}$	${\displaystyle \frac{4}{3}}$	$+\infty$
        $f\left(x\right)$			$-{\displaystyle \frac{64}{3}}$

        Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\left(x\right)$ :

        x	$-\infty$		$-4$		${\displaystyle \frac{4}{3}}$		$+\infty$
        Signe de $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

        ---

        L'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$ est l'intervalle $I=\left[-4;{\displaystyle \frac{4}{3}}\right]$.

        ---

      • méthode 2

        On étudie le signe du produit $\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$ à l'aide d'un tableau :

        x	$-\infty$		$-4$		${\displaystyle \frac{4}{3}}$		$+\infty$
        Signe de $3x-4$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
        Signe de $x+4$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
        $f\left(x\right)=\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

        ---

        L'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$ est l'intervalle $I=\left[-4;{\displaystyle \frac{4}{3}}\right]$.

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