contrôle du 19 février 2016

Corrigé de l'exercice 3

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, on considère la droite $𝒟$ d'équation $y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+2$ et le point A de coordonnées $\left(-2;-4\right)$.
Le but de cet exercice est de déterminer la distance du point A à la droite $𝒟$.

1. Soit M un point de la droite $𝒟$ d'abscisse a.

   1. Exprimer en fonction de a les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$.

      Comme M est un point de la droite $𝒟$, ses coordonnées sont $M\left(a;-{\displaystyle \frac{3}{4}}a+2\right)$. Le vecteur $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées :$$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}{x}_M-x_A\\ y_M-y_A\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{l}a+2\\ -{\displaystyle \frac{3}{4}}a+2+4\end{array}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}a+2\\ -{\displaystyle \frac{3}{4}}a+6\end{array}\right)\end{array}$$

      Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$ sont $\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}a+2\\ -{\displaystyle \frac{3}{4}}a+6\end{array}\right)$.

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   2. Montrer que ${AM}^2={\displaystyle \frac{25}{16}}{a}^2-5a+40$.

      Le plan muni d'un repère orthonormé donc :$$\begin{array}{rcl}{AM}^2& =& {\left(a+2\right)}^2+{\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}a+6\right)}^2\\ & =& a^2+4a+4+{\displaystyle \frac{9}{16}}{a}^2-9a+36\\ & =& {\displaystyle \frac{25}{16}}{a}^2-5a+40\end{array}$$

      Ainsi, ${AM}^2={\displaystyle \frac{25}{16}}{a}^2-5a+40$.

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2. Soit f la fonction définie pour tout réel a par $f\left(a\right)={\displaystyle \frac{25}{16}}{a}^2-5a+40$.

   1. Donner le tableau de variation de la fonction f.

      f est une fonction polynôme du second degré. La fonction f admet un minimum atteint pour $$a=-{\displaystyle \frac{-5}{2\times {\displaystyle \frac{25}{16}}}}={\displaystyle \frac{8}{5}}$$ et, $$f\left({\displaystyle \frac{8}{5}}\right)={\displaystyle \frac{25}{16}}\times {\displaystyle \frac{64}{25}}-5\times {\displaystyle \frac{8}{5}}+40=36$$

      D'où le tableau de variations de la fonction f :

      a	$-\infty$		${\displaystyle \frac{8}{5}}$		$+\infty$
      $f\left(a\right)$			36

   2. En déduire la distance du point A à la droite $𝒟$.

      La valeur minimale de ${AM}^2$ est égale à 36. Par conséquent, la distance minimale du point A à un point M la droite $𝒟$ est égale à :$$AM=\sqrt{36}=6$$

      La distance du point A à la droite $𝒟$ est égale à 6.

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