contrôle du 28 mai 2016

Corrigé de l'exercice 3

1. 1. Quel est le point du cercle qui correspond au réel $\left(-{\displaystyle \frac{11\pi }{12}}\right)$ ?

      L'octogone ABCDEFGH est inscrit sur le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
      La longueur d'un arc de cercle entre deux sommets consécutifs du polygone ABCDEFGH est égale à : ${\displaystyle \frac{2\pi }{8}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

      Comme ${\displaystyle \frac{\pi }{12}}-4\times {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{11\pi }{12}}$, on en déduit que :

      le point E est l'image du réel $\left(-{\displaystyle \frac{11\pi }{12}}\right)$.

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   2. Quels sont les réels de l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ qui ont pour image le point D ? le point H ?

      • ${\displaystyle \frac{\pi }{12}}+3\times {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$ donc le point D est l'image du réel ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$.

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      • ${\displaystyle \frac{\pi }{12}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ donc le point H est l'image du réel $\left(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$.

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2. Donner les valeurs exactes des coordonnées du point B.

   $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

   Le point B a pour coordonnées $\left({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$.

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3. On donne $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$.

   1. Calculer la valeur exacte de $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)$.

      ${\cos }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)+{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)=1$. D'où $$\begin{array}{rcl}{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\right)}^2+{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)=1& \iff & {\sin }^{2}x=1-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\right)}^2\\ & \iff & {\sin }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)=1-\left({\displaystyle \frac{8+2\sqrt{12}}{16}}\right)\\ & \iff & {\sin }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{8-2\sqrt{12}}{16}}\\ & \iff & {\sin }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\left({\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\right)}^2\end{array}$$

      Soit $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}$ ou $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$. Comme $\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)\in \left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right]$ alors, $0⩽\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)⩽1$.

      Ainsi, $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$

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   2. En déduire les valeurs exactes du cosinus et du sinus des réels ${\displaystyle \frac{11\pi }{12}}$ et ${\displaystyle \frac{13\pi }{12}}$.

      • Pour tout réel x, $\cos \left(\pi -x\right)=-\cos x$ et $\sin \left(\pi -x\right)=\sin x$. D'où :$$\begin{array}{ll}& \cos \left({\displaystyle \frac{11\pi }{12}}\right)=-\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\ \text{et}& \sin \left({\displaystyle \frac{11\pi }{12}}\right)=\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\end{array}$$

        Ainsi, $\cos \left({\displaystyle \frac{11\pi }{12}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{11\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$

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      • Pour tout réel x, $\cos \left(\pi +x\right)=-\cos x$ et $\sin \left(\pi +x\right)=-\sin x$. D'où :$$\begin{array}{ll}& \cos \left({\displaystyle \frac{13\pi }{12}}\right)=-\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\ \text{et}& \sin \left({\displaystyle \frac{13\pi }{12}}\right)=-\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}\end{array}$$

        Ainsi, $\cos \left({\displaystyle \frac{13\pi }{12}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{13\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}$

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