contrôle du 27 avril 2017

Sujet B : Corrigé de l'exercice 1

On considère la fonction homographique f définie par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{5x+13}{x+2}}$. On note ${𝒞}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

1. 1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?

      f est définie pour tout réel x tel que $x+2\ne 0$, soit pour tout réel $x\ne -2$.

      L'ensemble de définition de la fonction f est $D=\left]-\infty ;-2\right[\cup \left]-2;+\infty \right[$

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   2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe ${𝒞}_f$ avec les axes du repère.

      • $f\left(0\right)={\displaystyle \frac{13}{2}}$. Donc la courbe $C_f$ coupe l'axe des ordonnées au point $\left(0;{\displaystyle \frac{13}{2}}\right)$.

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      • $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=0& \iff & 5x+13=0\text{ et }x\ne -2\\ & \iff & x=-{\displaystyle \frac{13}{5}}\hfill \end{array}$$

        La courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses au point $\left(-{\displaystyle \frac{13}{5}};0\right)$.

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2. 1. Déterminer les réels A et B tels que $f\left(x\right)=A+{\displaystyle \frac{B}{x+2}}$.

      Pour tout réel $x\ne -2$, $$A+{\displaystyle \frac{B}{x+2}}={\displaystyle \frac{Ax+2A+B}{x+2}}$$

      D'où A et B sont solutions du système :$$\{\begin{array}{c}A=5\\ 2A+B=13\end{array}\iff \{\begin{array}{c}A=5\\ B=3\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel $x\ne -2$, $f\left(x\right)=5+{\displaystyle \frac{3}{x+2}}$.

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   2. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]-\infty ;-2\right[$.

      • méthode 1 :

        Soient a et b deux réels de l'intervalle $\left]-\infty ;-2\right[$ tels que $a<b$ : $$\begin{array}{ccc}a<b<-2& \iff & a+2<b+2<0\end{array}$$

        Comme sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right[$, la fonction inverse est strictement décroissante alors, ${\displaystyle \frac{1}{a+2}}>{\displaystyle \frac{1}{b+2}}$.
        D'où ${\displaystyle \frac{3}{a+2}}>{\displaystyle \frac{3}{b+2}}$ et donc $5+{\displaystyle \frac{3}{a+2}}>5+{\displaystyle \frac{3}{b+2}}$

        Ainsi, si $a<b<-2$ alors $f\left(b\right)<f\left(a\right)$ donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-2\right[$.

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      • méthode 2 :

        Soient a et b deux réels de l'intervalle $\left]-\infty ;-2\right[$ tels que $a<b$ : $$\begin{array}{rcl}f\left(a\right)-f\left(b\right)& =& 5+{\displaystyle \frac{3}{a+2}}-5-{\displaystyle \frac{3}{b+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3\times \left(b+2\right)-3\times \left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\times \left(b+2\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3b-3a}{\left(a+2\right)\times \left(b+2\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3\times \left(b-a\right)}{\left(a+2\right)\times \left(b+2\right)}}\end{array}$$

        Si $a<b<-2$ alors, $a+2<0$, $b+2<0$ et $b-a>0$ donc $f\left(a\right)-f\left(b\right)>0$

        Ainsi, si $a<b<-2$ alors $f\left(a\right)>f\left(b\right)$ donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-2\right[$.

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3. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩽-295$.

   Pour tout réel $x\ne -2$, $$\begin{array}{lcl}f\left(x\right)⩽-295& \iff & {\displaystyle \frac{5x+13}{x+2}}+295⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{603+300x}{x+2}}⩽0\end{array}$$

   Étudions le signe du quotient ${\displaystyle \frac{603+300x}{x+2}}$ :$$\begin{array}{crcl}& 603+300x⩽0& \iff & x⩽-\mathrm{2,01}\\ \text{et}& x+2⩽0& \iff & x⩽-2\end{array}$$

   D'où le tableau des signes :

   x	$-\infty$		− 2,01		− 2		$+\infty$
   $603+300x$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$|$	+
   $x+2$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$|$	+
   ${\displaystyle \frac{603+300x}{x+2}}$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\left|\right|$	+

   L'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽-295$ est $S=\left[-\mathrm{2,01};-2\right[$.

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