contrôle du 27 avril 2017

Sujet A : Corrigé de l'exercice 1

On considère la fonction homographique f définie par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{7-2x}{x-2}}$. On note ${𝒞}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

1. 1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?

      f est définie pour tout réel x tel que $x-2\ne 0$, soit pour tout réel $x\ne 2$.

      L'ensemble de définition de la fonction f est $D=\left]-\infty ;2\right[\cup \left]2;+\infty \right[$

      ---

   2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe ${𝒞}_f$ avec les axes du repère.

      • $f\left(0\right)=-{\displaystyle \frac{7}{2}}$. Donc la courbe $C_f$ coupe l'axe des ordonnées au point $\left(0;-{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$.

        ---

      • $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=0& \iff & 7-2x=0\text{ et }x\ne 2\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{7}{2}}\hfill \end{array}$$

        La courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses au point $\left({\displaystyle \frac{7}{2}};0\right)$.

        ---

2. 1. Déterminer les réels A et B tels que $f\left(x\right)=A+{\displaystyle \frac{B}{x-2}}$.

      Pour tout réel $x\ne 2$, $$A+{\displaystyle \frac{B}{x-2}}={\displaystyle \frac{Ax-2A+B}{x-2}}$$

      D'où A et B sont solutions du système :$$\{\begin{array}{c}A=-2\\ -2A+B=7\end{array}\iff \{\begin{array}{c}A=-2\\ B=3\end{array}$$

      Ainsi , pour tout réel $x\ne 2$, $f\left(x\right)=-2+{\displaystyle \frac{3}{x-2}}$.

      ---

   2. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$.

      • méthode 1 :

        Soient a et b deux réels de l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ tels que $2<a<b$ : $$\begin{array}{rcll}2<a<b& \iff & 0<a-2<b-2& \\ & \iff & 0<{\displaystyle \frac{1}{b-2}}<{\displaystyle \frac{1}{a-2}}& \text{la fonction inverse est strictement décroissante sur }\left]0;+\infty \right[\\ & \iff & 0<{\displaystyle \frac{3}{b-2}}<{\displaystyle \frac{3}{a-2}}& \\ & \iff & -2<-2+{\displaystyle \frac{3}{b-2}}<-2+{\displaystyle \frac{3}{a-2}}& \end{array}$$

        Ainsi, si $2<a<b$ alors $f\left(b\right)<f\left(a\right)$ donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$.

        ---

      • méthode 2 :

        Soient a et b deux réels de l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ tels que $2<a<b$ : $$\begin{array}{rcl}f\left(a\right)-f\left(b\right)& =& -2+{\displaystyle \frac{3}{a-2}}+2-{\displaystyle \frac{3}{b-2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3\times \left(b-2\right)-3\times \left(a-2\right)}{\left(a-2\right)\times \left(b-2\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3b-3a}{\left(a-2\right)\times \left(b-2\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3\times \left(b-a\right)}{\left(a-2\right)\times \left(b-2\right)}}\end{array}$$

        Si $2<a<b$ alors, $a-2>0$, $b-2>0$ et $b-a>0$ donc $f\left(a\right)-f\left(b\right)>0$

        Ainsi, si $2<a<b$ alors $f\left(a\right)>f\left(b\right)$ donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$.

        ---

3. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩾298$.

   Pour tout réel $x\ne 2$, $$\begin{array}{lcl}f\left(x\right)⩾298& \iff & {\displaystyle \frac{7-2x}{x-2}}-298⩾0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{603-300x}{x-2}}⩾0\end{array}$$

   Étudions le signe du quotient ${\displaystyle \frac{603-300x}{x-2}}$ :$$\begin{array}{crcl}& 603-300x⩽0& \iff & x⩾\mathrm{2,01}\\ \text{et}& x-2⩽0& \iff & x⩽2\end{array}$$

   D'où le tableau des signes :

   x	$-\infty$		2		2,01		$+\infty$
   $603-300x$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $x-2$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   ${\displaystyle \frac{603-300x}{x-2}}$		−	$\left|\right|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   L'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩾298$ est $S=\left]2;\mathrm{2,01}\right]$.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Calcul numériqueIntervalles et ordreFonctions généralitésFonctions : variationsFonctions de référence : ApplicationsFonction affineFonction carréFonction inverseSecond degréFonction homographiqueÉquationsInéquationsStatistiquesProbabilitésVecteursRepérage dans le planÉquation de droitesSystèmes d'équationsTrigonométrieGéométrie dans l'espaceTriangles isométriques, Triangles semblablesQ.C.M

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.