contrôle du 27 avril 2017

Sujet B : Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{7}{2}};+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{8x-21}{2x+7}}$. Sa courbe représentative ${𝒞}_f$ est tracée dans le plan muni d'un repère orthogonal ci-dessous.

1. L'équation $f\left(x\right)=4$ a-t-elle des solutions ?

   Sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{7}{2}};+\infty \right[$ :$$\begin{array}{lcl}f\left(x\right)=4& \iff & {\displaystyle \frac{8x-21}{2x+7}}=4\\ & \iff & {\displaystyle \frac{8x-21}{2x+7}}-4=0\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{49}{2x+7}}=0\end{array}$$

   Or si $x>-{\displaystyle \frac{7}{2}}$ alors, $-{\displaystyle \frac{49}{2x+7}}<0$. Soit $f\left(x\right)<4$.

   Sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{7}{2}};+\infty \right[$, l'équation $f\left(x\right)=4$ n'a pas de solution.

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2. Soit g la fonction affine définie pour tout réel x par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}x-3$.

   1. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal précédent.

      g est une fonction affine, sa courbe représentative est la droite D passant par les points $A\left(0;-3\right)$ et $B\left(4;0\right)$.

   2. Étudier les positions relatives des courbes ${𝒞}_f$ et D.

      Les positions relatives des courbes ${𝒞}_f$ et D se déduisent du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{7}{2}};+\infty \right[$ :$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{8x-21}{2x+7}}-\left({\displaystyle \frac{3}{4}}x-3\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{8x-21}{2x+7}}-{\displaystyle \frac{3x-12}{4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4\left(8x-21\right)-\left(3x-12\right)\left(2x+7\right)}{8x+28}}\\ & =& {\displaystyle \frac{32x-84-6x^2-21x+24x+84}{8x+28}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-6x^2+35x}{8x+28}}\end{array}$$

      Étudions le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{-x\left(6x-35\right)}{8x+28}}$ à l'aide d'un tableau :

      x	$-{\displaystyle \frac{7}{2}}$			0		${\displaystyle \frac{35}{6}}$		$+\infty$
      $-x$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$|$	−
      $6x-35$			−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $8x+28$			+	$|$	+	$|$	+
      $f\left(x\right)-g\left(x\right)$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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      • Sur chacun des intervalles $\left]-{\displaystyle \frac{7}{2}};0\right]$ ou $\left[{\displaystyle \frac{35}{6}};+\infty \right[$ la courbe $C_f$ est au dessous de la droite D.
      • La courbe $C_f$ est au dessus de la droite D sur l'intervalle $\left[0;{\displaystyle \frac{35}{6}}\right]$.
      • La droite D coupe la courbe $C_f$ en deux points de coordonnées $\left(0;-3\right)$ et $\left({\displaystyle \frac{35}{6}};{\displaystyle \frac{11}{8}}\right)$.

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