contrôles en seconde

contrôle du 29 septembre 2017

Corrigé de l'exercice 4

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f (x) = {(3 x - 4)}^{2} - {(5 x + 3)}^{2}$ .

1. Factoriser l'expression de $f (x)$ .
  Pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} {(3 x - 4)}^{2} - {(5 x + 3)}^{2} & = & [(3 x - 4) - (5 x + 3)] \times [(3 x - 4) + (5 x + 3)] \\ = & (3 x - 4 - 5 x - 3) (3 x - 4 + 5 x + 3) \\ = & (- 2 x - 7) (8 x - 1) \end{array}$
  Ainsi, pour tout réel x, $f (x) = (- 2 x - 7) (8 x - 1)$
2. On note $C_{f}$ sa courbe représentative.
  Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_{f}$ avec l'axe des abscisses.
  Les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_{f}$ avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation $f (x) = 0$ .
  Soit les réels x solutions de : $\begin{matrix} (- 2 x - 7) (8 x - 1) = 0 & \Leftrightarrow & - 2 x - 7 = 0 ou 8 x - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & x = - \frac{7}{2} ou x = \frac{1}{8} \end{matrix}$
  La courbe $C_{f}$ coupe l'axe des abscisses en deux points de coordonnées respectives $(- \frac{7}{2}; 0)$ et $(\frac{1}{8}; 0)$
Développer l'expression de $f (x)$ .
Pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} {(3 x - 4)}^{2} - {(5 x + 3)}^{2} & = & (9 x^{2} - 24 x + 16) - (25 x^{2} + 30 x + 9) \\ = & 9 x^{2} - 24 x + 16 - 25 x^{2} - 30 x - 9 \\ = & - 16 x^{2} - 54 x + 7 \end{array}$
Ainsi, pour tout réel x, $f (x) = - 16 x^{2} - 54 x + 7$
Calculer l'image par la fonction f de $- 1$ .
$f (- 1) = - 16 \times {(- 1)}^{2} - 54 \times (- 1) + 7 = 45$
$f (- 1) = 45$ .
Calculer les antécédents par la fonction f de 7.
Les antécédents par la fonction f de 7 sont les solutions de l'équation $f (x) = 7$ .
Soit les réels x solutions de : $\begin{array}{rcl} - 16 x^{2} - 54 x + 7 = 7 & \Leftrightarrow & - 16 x^{2} - 54 x = 0 \\ \Leftrightarrow & - 2 x (8 x + 27) = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 0 ou x = - \frac{27}{8} \end{array}$
Les antécédents de 7 par la fonction f sont $- \frac{27}{8}$ et 0.

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