contrôle du 10 avril 2018

Corrigé de l'exercice 4

1. Donner un encadrement de ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ dans chacun des cas suivants :

   La fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right[$ donc :

   1. Si $-\mathrm{0,2}<x<-\mathrm{0,1}$ alors $-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,1}}}<{\displaystyle \frac{1}{x}}<-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,2}}}\iff -10<{\displaystyle \frac{1}{x}}<-5$.

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   2. Si $x⩽-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ alors $-{\displaystyle \frac{3}{2}}⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}<0$.

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   La fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ donc :

   1. Si ${\displaystyle \frac{2}{5}}<x⩽5$ alors ${\displaystyle \frac{1}{5}}⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}<{\displaystyle \frac{5}{2}}$.

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   2. Si $x⩾{10}^{-2}$ alors $0<{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽100$.

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2. Résoudre l'inéquation ${\displaystyle \frac{1}{x}}⩾-{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

   Pour tout réel $x\ne 0$ :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{1}{x}}⩾-{\displaystyle \frac{2}{3}}& \iff & {\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}⩾0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{3+2x}{3x}}⩾0\end{array}$$

   Étudions le signe du quotient ${\displaystyle \frac{3+2x}{3x}}$ à l'aide d'un tableau :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$		0		$+\infty$
   Signe de x		−	$|$	−		+
   Signe de $\left(3+2x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+		+
   Signe de ${\displaystyle \frac{3+2x}{3x}}$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−		+

   L'ensemble des solutions de l'inéquation ${\displaystyle \frac{1}{x}}⩾-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ est $S=\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]\cup \left]0;+\infty \right[$.

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