contrôle du 07 mai 2018

Corrigé de l'exercice 3

partie a

Soit f la fonction définie pour tout réel $x\ne 2$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x-2}}$.

1. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $f\left(x\right)=10$.

   Pour tout réel $x\ne 2$. $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{2x}{x-2}}=10& \iff & {\displaystyle \frac{2x}{x-2}}-10=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{2x-10\times \left(x-2\right)}{x-2}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{-8x+20}{x-2}}=0\end{array}$$

   Cette équation équivaut à $x-2\ne 0$ et $-8x+20=0\iff x={\displaystyle \frac{5}{2}}$.

   L'équation $f\left(x\right)=10$ admet pour solution $x={\displaystyle \frac{5}{2}}$.

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2. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)⩾0$.

   Étudions le signe du quotient ${\displaystyle \frac{2x}{x-2}}$ à l'aide d'un tableau de signes :

   x	$-\infty$		0		2		$+\infty$
   $2x$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   $x-2$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x-2}}$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\left|\right|$	+

   L'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩾0$ est $S=\left]-\infty ;0\right]\cup \left]2;+\infty \right[$.

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partie b

1. Exprimer, en fonction de x et y, l'aire et le périmètre d'un rectangle de dimensions x et y.

   L'aire du rectangle est $A=x\times y$. Le périmètre du rectangle est $P=2\times \left(x+y\right)$.

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2. On considère les rectangles de dimensions x et y dont l'aire est égale au périmètre.

   1. Montrer que $y={\displaystyle \frac{2x}{x-2}}$ pour $x\ne 2$.

      Les dimensions x et y de ces rectangles vérifient la condition $$\begin{array}{rcl}xy=2\left(x+y\right)& \iff & xy-2y=2x\\ & \iff & y\times \left(x-2\right)=2x\end{array}$$

      • Soit pour tout réel $x\ne 2$, $y\times \left(x-2\right)=2x\iff y={\displaystyle \frac{2x}{x-2}}$

      • Si $x=2$ alors l'équation $y\times \left(x-2\right)=2x$ n'a pas de solution.

      Les rectangles de dimensions x et y dont l'aire est égale au périmètre vérifient $y={\displaystyle \frac{2x}{x-2}}$ avec $x\ne 2$.

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   2. Existe-t-il des rectangles dont l'aire est égale au périmètre et dont un des côtés est inférieur ou égal à 2 ?

      Pour tout réel $x\ne 2$$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{2x}{x-2}}⩽2& \iff & {\displaystyle \frac{2x}{x-2}}-2⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{2x-2\left(x-2\right)}{x-2}}⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{4}{x-2}}⩽0\\ & \text{Soit}& x<2\end{array}$$

      Or x et y sont deux réels positifs, et d'après la partie A, ${\displaystyle \frac{2x}{x-2}}⩾0$ pour $x\in \left]2;+\infty \right[$.

      Il n'existe pas de rectangles dont l'aire est égale au périmètre et dont un des côtés soit inférieur à 2.

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3. Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe 𝒞 représentative de la fonction f sur l'intervalle $\left]2;12\right]$.
   En utilisant la courbe 𝒞, déterminer tous les rectangles de dimensions entières, comprises entre 1 et 10, tels que l'aire est égale au périmètre.

   Il n'y a que trois points de la courbe 𝒞 dont les coordonnées sont entières : les points $A\left(3;6\right)$, $B\left(4;4\right)$ et $C\left(6;3\right)$.

   Les rectangles dont l'aire est égale au périmètre et de dimensions entières sont : le carré de côté 4 et les rectangles de dimensions $3\times 6$ (ou $6\times 3$).

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