contrôle du 27 mai 2018

Corrigé de l'exercice 1

Simplifier chacune des expressions suivantes, où x est un réel :

1. $A=\sin \left(-x\right)+\cos \left(-x\right)+\sin \left(\pi -x\right)+\cos \left(\pi +x\right)$

   Pour tout réel x, on a : $\sin \left(-x\right)=-\sin x$ ; $\cos \left(-x\right)=\cos x$ ; $\sin \left(\pi -x\right)=\sin x$ et $\cos \left(\pi +x\right)=-\cos x$.

   D'où pour tout réel x :$$\begin{array}{ll}& A=\sin \left(-x\right)+\cos \left(-x\right)+\sin \left(\pi -x\right)+\cos \left(\pi +x\right)\\ \iff & A=-\sin x+\cos x+\sin x-\cos x=0\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x, $A=\sin \left(-x\right)+\cos \left(-x\right)+\sin \left(\pi -x\right)+\cos \left(\pi +x\right)=0$.

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2. $B={\left(\cos x+\sin x\right)}^2+{\left(\cos \left(-x\right)+\sin \left(-x\right)\right)}^2$

   Pour tout réel x, on a : $\sin \left(-x\right)=-\sin x$ ; $\cos \left(-x\right)=\cos x$ et ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$.

   D'où pour tout réel x :$$\begin{array}{ll}& B={\left(\cos x+\sin x\right)}^2+{\left(\cos \left(-x\right)+\sin \left(-x\right)\right)}^2\\ \iff & B={\left(\cos x+\sin x\right)}^2+{\left(\cos x-\sin x\right)}^2\\ \iff & B=\left({\cos }^{2}x+2\times \cos x\times \sin x+{\sin }^{2}x\right)+\left({\cos }^{2}x-2\times \cos x\times \sin x+{\sin }^{2}x\right)\\ \iff & B=1+2\times \cos x\times \sin x+1-2\times \cos x\times \sin x=2\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x, $B={\left(\cos x+\sin x\right)}^2+{\left(\cos \left(-x\right)+\sin \left(-x\right)\right)}^2=2$.

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3. $C={\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x-2{\cos }^{2}x$

   Pour tout réel x :$$\begin{array}{ll}& C={\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x-2{\cos }^{2}x\\ \iff & C=\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)-2{\cos }^{2}x\\ \iff & C={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x-2{\cos }^{2}x\\ \iff & C=-{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=-1\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x, $C={\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x-2{\cos }^{2}x=-1$.

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