contrôle du 27 mai 2018

Corrigé de l'exercice 3

1. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=-3$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ :$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=-3& \iff & {\displaystyle \frac{2-4x}{x+2}}+3=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{2-4x+3\times \left(x+2\right)}{x+2}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{8-x}{x+2}}=0\end{array}$$

   Cette équation équivaut à $x+2\ne 0$ et $8-x=0$. Soit $x=8$.

   L'équation $f\left(x\right)=-3$ admet pour solution $x=8$.

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2. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-\mathrm{1,5}\right)=7$ et $g\left(1\right)=2$.

   1. Tracer la courbe 𝒟 représentative de la fonction g dans le repère précédent.

      La courbe représentative de la fonction affine g est la droite 𝒟 passant par les points $A\left(-\mathrm{1,5};7\right)$ et $B\left(1;2\right)$.

   2. Déterminer l'expression de de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(1\right)-g\left(-\mathrm{1,5}\right)}{1-\left(-\mathrm{1,5}\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{2-7}{\mathrm{2,5}}}=-2\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-2x+b$. Or $g\left(-\mathrm{1,5}\right)=7$ d'où $$3+b=7\iff b=4$$

      g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-2x+4$.

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3. 1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ on a $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\left(x-3\right)\left(x+1\right)}{x+2}}$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ :$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{2-4x}{x+2}}-\left(-2x+4\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{2-4x+2\left(x-2\right)\times \left(x+2\right)}{x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2-4x+2x^2-8}{x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x^2-4x-6}{x+2}}\end{array}$$

      Cherchons une factorisation de l'expression $2x^2-4x-6$. Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}2x^2-4x-6& =& 2\left(x^2-2x-3\right)\\ & =& 2\left[{\left(x-1\right)}^2-1-3\right]\\ & =& 2\left[{\left(x-1\right)}^2-4\right]\\ & =& 2\left(x-1-2\right)\left(x-1+2\right)\\ & =& 2\left(x-3\right)\left(x+1\right)\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ on a $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\left(x-3\right)\left(x+1\right)}{x+2}}$.

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   2. Étudier le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$. En déduire les positions relatives de la droite 𝒟 et de la courbe ${𝒞}_f$.

      Étudions le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ à l'aide d'un tableau :

      x	$-2$			$-1$		3		$+\infty$
      $x+1$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      $x-3$			−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $x+2$			+	$|$	+	$|$	+
      $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\left(x-3\right)\left(x+1\right)}{x+2}}$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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      Les positions relatives de la droite 𝒟 et de la courbe ${𝒞}_f$ se déduisent du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ :

      • Sur chacun des intervalles $\left]-2;-1\right]$ ou $\left[3;+\infty \right[$ la courbe ${𝒞}_f$ est au dessus de la droite 𝒟.
      • La courbe ${𝒞}_f$ est au dessous de la droite 𝒟 sur l'intervalle $\left[-1;3\right]$
      • La droite 𝒟 coupe la courbe ${𝒞}_f$ en deux points de coordonnées $\left(-1;6\right)$ et $\left(3;-2\right)$.

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