contrôle du 27 mai 2018

Corrigé de l'exercice 2

1. Par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique le point A est l'image du réel ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.
   À quels réels de l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ sont associés les sommets de ce polygone ?

   L'octogone ABCDEFGH est inscrit sur le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
   La longueur d'un arc de cercle entre deux sommets consécutifs du polygone ABCDEFGH est égale à : ${\displaystyle \frac{2\pi }{8}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

   • Sur l'intervalle $\left[0;\pi \right]$ :

     • le point B est l'image du réel ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$ ;
     • le point C est l'image du réel ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2\times {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ ;
     • le point D est l'image du réel ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}+3\times {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{11\pi }{12}}$ ;

   • Sur l'intervalle $\left]-\pi ;0\right]$ :

     • le point H est l'image du réel ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{12}}$ ;
     • le point G est l'image du réel ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}-2\times {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ ;
     • le point F est l'image du réel ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}-3\times {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$ ;
     • le point E est l'image du réel ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}-4\times {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$ ;

   D'où le tableau donnant les valeurs des réels x associés aux sommets du polygone ABCDEFGH :

   Sommets	A	B	C	D	E	F	G	H
   Réels x	${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$	${\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$	${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$	${\displaystyle \frac{11\pi }{12}}$	$-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$	$-{\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$	$-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$	$-{\displaystyle \frac{\pi }{12}}$

2. Donner les coordonnées des points A et C.

   • $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Le point A a pour coordonnées $\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}};{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

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   • $\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. Le point C a pour coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$.

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3. Quel est le point de coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ ?

   $\cos \left(-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ et $\sin \left(-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Le point de coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ est le point E.

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4. Les points B et F sont-ils symétriques par rapport à l'origine O du repère $\left(\mathrm{O};I,J\right)$ ?

   $${\displaystyle \frac{5\pi }{12}}-\pi =-{\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$$

   Les points B et F sont symétriques par rapport à l'origine du repère $\left(\mathrm{O};I,J\right)$.

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5. On donne $\cos \left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$.

   1. Calculer $\sin \left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)$. En déduire les coordonnées du point B.

      ${\cos }^2\left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)+{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)=1$. D'où $$\begin{array}{rcl}{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\right)}^2+{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)=1& \iff & {\sin }^{2}x=1-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\right)}^2\\ & \iff & {\sin }^2\left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)=1-\left({\displaystyle \frac{6-2\times \sqrt{6}\times \sqrt{2}+2}{16}}\right)\\ & \iff & {\sin }^2\left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{8+2\sqrt{12}}{16}}\\ & \iff & {\sin }^2\left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{6+2+2\times \sqrt{6}\times \sqrt{2}}{16}}\\ & \iff & {\sin }^2\left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)={\left({\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\right)}^2\end{array}$$

      Soit $\sin \left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$ ou $\sin \left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$. Comme $\left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)\in \left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right]$ alors, $0⩽\sin \left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)⩽1$.

      Ainsi, $\sin \left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$. Le point B a pour coordonnées $\left({\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}};{\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\right)$.

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   2. Calculer les coordonnées du point F.

      Les points B et F sont symétriques par rapport à l'origine du repère. Or pour tout réel x, $\cos \left(x-\pi \right)=\cos \left(\pi +x\right)=-\cos x$ et $\sin \left(x-\pi \right)=\sin \left(\pi +x\right)=-\sin x$. D'où :$$\begin{array}{ll}& \cos \left(-{\displaystyle \frac{7\pi }{12}}\right)=-\cos \left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\\ \text{et}& \sin \left(-{\displaystyle \frac{7\pi }{12}}\right)=-\sin \left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\end{array}$$

      Les coordonnées du point F sont $\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}};-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\right)$.

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