contrôles en terminale ES

Contrôle du 29 mars 2008

Corrigé de l'exercice 1

Simplifier les écritures suivantes :

$\frac{{(e^{x + 2})}^{2}}{e^{2 x - 1}}$
Pour tout réel x, $\begin{array}{l} \frac{{(e^{x + 2})}^{2}}{e^{2 x - 1}} & = & \frac{e^{2 (x + 2)}}{e^{2 x - 1}} & Pour tout réels x et y, {(e^{x})}^{y} = e^{x y} \\ = & e^{2 (x + 2) - (2 x - 1)} & Pour tout réels x et y, \frac{e^{x}}{e^{y}} = e^{x - y} \\ = & e^{5} \end{array}$
Ainsi, pour tout réel x, $\frac{{(e^{x + 2})}^{2}}{e^{2 x - 1}} = e^{5}$
${(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$
Pour tout réel x, $\begin{array}{l} {(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2} & = & ({(e^{x})}^{2} + 2 e^{x} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}) - ({(e^{x})}^{2} - 2 e^{x} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}) \\ = & 4 e^{x} e^{- x} \\ = & 4 e^{0} & Pour tout réels x et y, e^{x} e^{y} = e^{x + y} \\ = & 4 \end{array}$
Ainsi, pour tout réel x, ${(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2} = 4$
$\frac{e^{x + \ln 8}}{e^{x - \ln 2}}$
Pour tout réel x, $\begin{array}{l} \frac{e^{x + \ln 8}}{e^{x - \ln 2}} & = & e^{(x + \ln 8) - (x - \ln 2)} & Pour tout réels x et y, \frac{e^{x}}{e^{y}} = e^{x - y} \\ = & e^{\ln 8 + \ln 2} \\ = & e^{\ln 16} & Pour tout réels a et b strictement positifs, \ln a + \ln b = \ln a b \\ = & 16 & Pour tout réel y > 0, e^{\ln y} = y \end{array}$
Ainsi, pour tout réel x, $\frac{e^{x + \ln 8}}{e^{x - \ln 2}} = 16$ .

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