contrôles en terminale ES

Contrôle du 29 mars 2008

Corrigé de l'exercice 2

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

$e^{1 - x^{2}} = 1$
Pour tout réel x, $\begin{array}{l} e^{1 - x^{2}} = 1 & \Leftrightarrow & e^{1 - x^{2}} = e^{0} & \Leftrightarrow & 1 - x^{2} = 0 \end{array}$
L'ensemble des solutions de l'équation est $S = {- 1; 1}$ .
$e^{\ln (x^{2} + 1)} - \ln (e^{1 - x^{2}}) = \frac{1}{2}$
La fonction ln est définie sur $] 0; + \infty [$ . Or pour tout réel x, $x^{2} + 1 > 0$ et $e^{1 - x^{2}} > 0$ , donc les solutions de l'équation appartiennent à $ℝ$ .
Pour tout réel x, $\begin{array}{l} e^{\ln (x^{2} + 1)} - \ln (e^{1 - x^{2}}) = \frac{1}{2} & \Leftrightarrow & (x^{2} + 1) - (1 - x^{2}) = \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & 2 x^{2} = \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & x^{2} = \frac{1}{4} \end{array}$
L'ensemble des solutions de l'équation est $S = {- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}}$ .
$\ln (e^{- x}) + e^{- \ln x} = 0$
$\ln x$ n'est défini que pour $x > 0$ et $\ln (e^{- x})$ est défini pour tout réel, donc les solutions de l'équation doivent appartenir à l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
Pour tout réel x de l'intervalle $] 0; + \infty [$ , $\begin{array}{l} \ln (e^{- x}) + e^{- \ln x} = 0 & \Leftrightarrow & - x + e^{\ln \frac{1}{x}} = 0 \\ \Leftrightarrow & - x + \frac{1}{x} = 0 \\ \Leftrightarrow & \frac{1 - x^{2}}{x} = 0 \end{array}$
Les solutions de l'équation $1 - x^{2} = 0$ sont −1 et 1 mais $- 1 \notin] 0; + \infty [$ .
1 est la seule solution de l'équation $\ln (e^{- x}) + e^{- \ln x} = 0$ .

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