Contrôle du 29 mars 2008

exercice 1

Simplifier les écritures suivantes :

1. ${\displaystyle \frac{{\left({\mathrm{e}}^{x+2}\right)}^2}{{\mathrm{e}}^{2x-1}}}$

2. ${\left({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2-{\left({\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2$

3. ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{x+\ln 8}}{{\mathrm{e}}^{x-\ln 2}}}$

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exercice 2

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

1. ${\mathrm{e}}^{1-x^2}=1$

2. ${\mathrm{e}}^{\ln \left(x^2+1\right)}-\ln \left({\mathrm{e}}^{1-x^2}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

3. $\ln \left({\mathrm{e}}^{-x}\right)+{\mathrm{e}}^{-\ln x}=0$

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exercice 3

Soit f la fonction définie sur $\left]1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{-x^2+2x+1}{x-1}}$.

1. Déterminer les réels a, b et c tels que $f\left(x\right)=ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x-1}}$.

2. Déterminer la primitive F de la fonction f telle que $F\left(2\right)=1$.

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exercice 4

On cherche à déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x$. Pour cela, on considère la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^x-x$.

1. Déterminer $f\prime \left(x\right)$.

2. Étudier les variations de f, en déduire que f admet un minimum.

3. Justifier que pour tout réel x, on a ${\mathrm{e}}^x>x$. En déduire la limite de la fonction exponentielle en $+\infty$.

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exercice 5

Un musée propose à la vente trois sortes de billets : un billet à 9 € pour visiter uniquement les collections permanentes ; un billet à 11 € pour visiter uniquement l'exposition temporaire ou un billet à 13 € pour visiter les collections permanentes et l'exposition temporaire. On sait que :

• 60% des visiteurs visitent l'exposition temporaire.
• 45% des visiteurs achètent un billet à 11 €.

1. Établir la loi de probabilité associée au prix d'un billet.

2. Quelle est la recette quotidienne que peut espérer ce musée si le nombre de visiteurs par jour est en moyenne de 20 000 ?

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exercice 6

Un organisme a chargé un centre d'appel de démarcher des clients potentiels. On a constaté que 15% des clients contactés donnent suite à la demande et acceptent un rendez-vous.
On contacte n clients de cet organisme d'une façon indépendante et on note $p_n$ la probabilité qu'au moins un des clients contactés accepte un rendez-vous.

1. Dans le cas où $n=3$, calculer la probabilité qu'aucun des trois clients contactés n'accepte un rendez-vous, puis en déduire $p_3$.

2. Prouver que $p_n=1-{\mathrm{0,85}}^n$

3. Quel est le nombre minimal de clients à démarcher pour que la probabilité qu'au moins un des clients contactés accepte un rendez-vous soit supérieure à 0,99 ?

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