contrôles en terminale ES

Contrôle du 29 mars 2008

Corrigé de l'exercice 4

On cherche à déterminer limx+ex. Pour cela, on considère la fonction f définie sur par f(x)=ex-x.

  1. Déterminer f(x).

    La fonction exponentielle est dérivable sur et pour tout réel x, (ex)=ex. Donc

    f(x)=ex-1


  2. Étudier les variations de f, en déduire que f admet un minimum.

    Les variations de de f se déduisent du signe de sa dérivée et f(x)>0ex-1>0x>0

    x- 0 +
    f(x) 0||+ 
    f(x) fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    1

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

    D'après son tableau de variation, la fonction f admet un minimum atteint en 0. f(0)=e0=1


  3. Justifier que pour tout réel x, on a ex>x. En déduire la limite de la fonction exponentielle en +.

    f(0) est le minimum de la fonction f donc pour tout réel x, f(x)f(0)ex-x1ex-x>0

    Ainsi, pour tout réel x, ex>x

    Or, limx+x=+ et pour tout réel x, ex>x alors d'après les théorèmes sur les limites par comparaison, limx+ex=+



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