On cherche à déterminer . Pour cela, on considère la fonction f définie sur par .
Déterminer .
La fonction exponentielle est dérivable sur et pour tout réel x, . Donc
Étudier les variations de f, en déduire que f admet un minimum.
Les variations de de f se déduisent du signe de sa dérivée et
x | 0 | ||||
− | + | ||||
1 |
D'après son tableau de variation, la fonction f admet un minimum atteint en 0.
Justifier que pour tout réel x, on a . En déduire la limite de la fonction exponentielle en .
est le minimum de la fonction f donc pour tout réel x,
Ainsi, pour tout réel x,
Or, et pour tout réel x, alors d'après les théorèmes sur les limites par comparaison,
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