contrôles en terminale ES

Contrôle du 29 mars 2008

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur $] 1; + \infty [$ par $f (x) = \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{x - 1}$ .

Déterminer les réels a, b et c tels que $f (x) = a x + b + \frac{c}{x - 1}$ .
Pour tout réel $x > 1$ , $\begin{array}{l} a x + b + \frac{c}{x - 1} & = & \frac{(a x + b) (x - 1) + c}{x - 1} \\ = & \frac{a x^{2} + b x - a x - b + c}{x - 1} \\ = & \frac{a x^{2} + (b - a) x - b + c}{x - 1} \end{array}$
Par indentification à $f (x) = \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{x - 1}$ , a,b et c sont solutions du système : ${\begin{array}{rcr} a & = & - 1 \\ b - a & = & 2 \\ - b + c & = & 1 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{rcr} a & = & - 1 \\ b & = & 1 \\ c & = & 2 \end{array}$
Ainsi, sur $] 1; + \infty [$ , $f (x) = - x + 1 + \frac{2}{x - 1}$ .
Déterminer la primitive F de la fonction f telle que $F (2) = 1$ .
Soit u la fonction définie sur $] 1; + \infty [$ par $u (x) = x - 1$ . u est dérivable et strictement positive sur $] 1; + \infty [$ et pour tout $x > 1$ , $u' (x) = 1$
On a donc pour tout réel x de l'intervalle $] 1; + \infty [$ , $f (x) = - x + 1 + 2 \times \frac{u' (x)}{u (x)}$
Les primitives de f sont les fonctions F définies sur $] 1; + \infty [$ par $F (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x + 2 \ln (x - 1) + c$ (avec c réel).
Or $\begin{array}{l} F (2) = 1 & \Leftrightarrow & - \frac{x^{2}}{2} + x + 2 \ln (x - 1) + c = 1 \\ \Leftrightarrow & - \frac{4}{2} + 2 + 2 \ln (2 - 1) + c = 1 \\ \Leftrightarrow & c = 1 \end{array}$
F est la fonction définie sur $] 1; + \infty [$ par $F (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x + 2 \ln (x - 1) + 1$ .

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