contrôles en terminale ES

contrôle du 27 septembre 2008

Corrigé de l'exercice 2

La courbe (C) ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$ . On sait que :

la courbe (C) coupe l'axe des ordonnées au point $A (0; 2)$ ;
la courbe (C) admet pour asymptote l'axe des abscisses ;
la tangente en A à la courbe (C) coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 4.

À partir du graphique et des renseignements fournis :
1. Déterminer $\lim_{x \to - \infty} f (x)$ et $\lim_{x \to + \infty} f (x)$ .
  Graphiquement, $\lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty$
  La courbe (C) admet pour asymptote l'axe des abscisses alors $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$
2. Déterminer $f (0)$ et $f' (0)$
  La courbe (C) coupe l'axe des ordonnées au point $A (0; 2)$ alors $f (0) = 2$
  Le nombre dérivé $f' (0)$ est égal au coefficient directeur de la tangente en A à la courbe (C) . Or cette droite coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 4. Son coefficient directeur est donc $a = \frac{0 - 2}{4 - 0} = - \frac{1}{2}$
  $f' (0) = - \frac{1}{2}$
Soit g la fonction définie sur $ℝ$ par $g (x) = \frac{1}{f (x)}$
1. Déterminer, en justifiant avec soin, $\lim_{x \to - \infty} g (x)$ et $\lim_{x \to + \infty} g (x)$ .
  - $\lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty$ et $\lim_{X \to + \infty} \frac{1}{X} = 0$ alors par composition , $\lim_{x \to - \infty} \frac{1}{f (x)} = 0$ donc $\lim_{x \to - \infty} g (x) = 0$
  - $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0^{+}$ et $\lim_{X \to 0^{+}} \frac{1}{X} = + \infty$ alors par composition , $\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{f (x)} = + \infty$ donc $\lim_{x \to + \infty} g (x) = + \infty$
2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 0.
  Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 0 est : $y = g' (0) \times (x - 0) + g (0)$
  Or $g (0) = \frac{1}{f (0)} = \frac{1}{2}$
  D'autre part, $g = \frac{1}{f}$ donc la fonction g est dérivable sur tout intervalle où la fonction f est dérivable et non nulle et $g' = - \frac{f'}{f^{2}}$ . Soit $\begin{matrix} g' (0) & = & - \frac{f' (0)}{{[f (0)]}^{2}} & = & \frac{- \frac{1}{2}}{2^{2}} & = & \frac{1}{8} \end{matrix}$
  D'où $y = \frac{1}{8} x + \frac{1}{2}$
  La tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 0 a pour équation $y = \frac{1}{8} x + \frac{1}{2}$ .

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