contrôles en terminale ES

contrôle du 17 décembre 2008

Corrigé de l'exercice 1

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.

f est définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{3} - 3 x + \frac{1}{2}$ et $F (1) = 0$ .
D'après la formule donnant les primitives de $x^{n}$ , les primitives de f sont les fonctions F définies sur $ℝ$ telles que : $\begin{matrix} F (x) = \frac{x^{3 + 1}}{4} - 3 \times \frac{x^{1 + 1}}{2} + \frac{1}{2} \times x + c & Soit & F (x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + c \end{matrix}$
Or $\begin{array}{l} F (1) = 0 & \Leftrightarrow & \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + c = 0 \\ \Leftrightarrow & c = \frac{3}{4} \end{array}$
Ainsi, la primitive de la fonction f est la fonction F défine sur $ℝ$ par $F (x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$ .
f est définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = 3 x^{2} - \frac{2}{x}$ et $F (1) = - 1$ .
Par définition, la fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction sur $] 0; + \infty [$ de la fonction inverse prenant la valeur 0 en 1.
Par conséquent, les primitives de f sont les fonctions F définies sur $] 0; + \infty [$ telles que : $\begin{matrix} F (x) = x^{3} - 2 \times \ln (x) + c \end{matrix}$
Or $\begin{array}{l} F (1) = - 1 & \Leftrightarrow & 1 - 2 \times \ln (1) + c = - 1 \\ \Leftrightarrow & c = - 2 \end{array}$
Ainsi, la primitive de la fonction f est la fonction F défine sur $] 0; + \infty [$ par $F (x) = x^{3} - 2 \ln (x) - 2$ .
f est définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$ et $F (e) = 0$ .
Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $] 0; + \infty [$ , posons $u (x) = \ln (x)$ d'où $u' (x) = \frac{1}{x}$ . Ainsi, $f = 2 u u'$ d'où $F = u^{2}$ .
Par conséquent, les primitives de f sont les fonctions F définies sur $] 0; + \infty [$ telles que : $\begin{matrix} F (x) = {[\ln (x)]}^{2} + c \end{matrix}$
Or $\begin{array}{l} F (e) = 0 & \Leftrightarrow & {[\ln (e)]}^{2} + c = 0 \\ \Leftrightarrow & c = - 1 \end{array}$
Ainsi, la primitive de la fonction f est la fonction F défine sur $] 0; + \infty [$ par $F (x) = {[\ln (x)]}^{2} - 1$ .

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