contrôles en terminale ES

contrôle du 17 décembre 2008

Corrigé de l'exercice 2

D'une année sur l'autre, un produit perd 5% de sa valeur. Au bout de combien d'années ce produit aura-t-il a perdu au moins 40% de sa valeur initiale ?
Soit $v_{0}$ la valeur initiale du produit. Pour tout entier naturel n, notons $v_{n}$ la valeur du produit au bout de n années.
D'une année sur l'autre, le produit perd 5% de sa valeur. Le coefficient multiplicateur associé à une perte de 5% est égal à $1 - \frac{5}{100} = 0,95$ donc pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,95 \times v_{n}$ . Ainsi, $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $v_{0}$ . Donc pour tout entier naturel n, $v_{n} = {0,95}^{n} \times v_{0}$
Le coefficient multiplicateur associé à une perte de 40% est égal à 0,60. n est le plus petit entier tel que $\begin{array}{l} {0,95}^{n} \times v_{0} ⩽ 0,6 \times v_{0} & \Leftrightarrow & {0,95}^{n} ⩽ 0,6 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,95}^{n}) ⩽ \ln (0,6) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \ln (0,95) ⩽ \ln (0,6) \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln (0,6)}{\ln (0,95)} & \ln (0,95) < 0 \end{array}$
Or $\frac{\ln (0,6)}{\ln (0,95)} \approx 9,96$ donc $n = 10$
Au bout de 10 ans, ce produit aura perdu au moins 40% de sa valeur.
Un capital est placé à intérêts composés au taux annuel de 3,5%. Au bout de combien d'années, ce capital aura-t-il augmenté d'au moins 70% ?
Pour tout entier naturel n, notons $u_{n}$ la valeur du capital au bout de n années.
Le coefficient multiplicateur associé à un taux de 3,5% est égal à 1,035 . Donc pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 1,035 \times u_{n}$ . Ainsi, $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,035 et de premier terme $u_{0}$ . Donc pour tout entier naturel n, $u_{n} = {1,035}^{n} \times u_{0}$
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 70% est égal à 1,70. On cherche donc le plus petit entier n tel que $\begin{array}{l} {1,035}^{n} \times u_{0} ⩾ 1,7 \times u_{0} & \Leftrightarrow & {1,035}^{n} ⩾ 1,7 \\ \Leftrightarrow & \ln ({1,035}^{n}) ⩾ \ln (1,7) \\ \Leftrightarrow & n \ln (1,035) ⩾ \ln (1,7) \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln (1,7)}{\ln (1,035)} & \ln (1,035) > 0 \end{array}$
Or $\frac{\ln (1,7)}{\ln (1,035)} \approx 15,4$ donc $n = 16$
Au bout de 16 ans, ce capital aura augmenté d'au moins 70% de sa valeur.

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