contrôles en terminale ES

Contrôle du 21 mars 2009

Corrigé de l'exercice 2

Démontrer que pour tout réel x strictement positif, $x + \frac{1}{x} ⩾ 2$

méthode 1
Pour tout réel $x \neq 0$ , $\begin{array}{l} x + \frac{1}{x} ⩾ 2 & \Leftrightarrow & x + \frac{1}{x} - 2 ⩾ 0 & \Leftrightarrow & \frac{x^{2} + 1 - 2 x}{x} ⩾ 0 & \Leftrightarrow & \frac{{(x - 1)}^{2}}{x} ⩾ 0 \end{array}$
Par conséquent, si x est un réel strictement positif alors, $\begin{array}{l} \frac{{(x - 1)}^{2}}{x} ⩾ 0 & \Leftrightarrow & x + \frac{1}{x} ⩾ 2 \end{array}$

méthode 2

Soit f la fonction défine pour tout réel x strictement positif par $f (x) = x + \frac{1}{x}$ . f est dérivable et pour tout réel strictement positif, $f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ , les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

x	0		1		$+ \infty$
$f' (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$f (x)$			2

D'après son tableau de variation, la fonction f admet un minimum atteint pour $x = 1$ . Or $f (1) = 2$ . Donc pour tout réel x strictement positif, $f (x) ⩾ 2$ .

Ainsi, pour tout réel x strictement positif, $x + \frac{1}{x} ⩾ 2$

En déduire que pour tout réel x, $e^{x} + e^{- x} ⩾ 2$
Pour tout réel x, posons $e^{x} = X$ d'où $X > 0$ et $e^{- x} = \frac{1}{X}$ . Par conséquent, pour tout réel x, $e^{x} + e^{- x}$ s'écrit sous la forme $X + \frac{1}{X}$ avec $X > 0$ .
Donc d'après le résultat établi dans la première question :
Pour tout réel x, $e^{x} + e^{- x} ⩾ 2$

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