contrôles en terminale ES

Contrôle du 21 mars 2009

Corrigé de l'exercice 3

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

$e^{x^{2} + x - 1} = 1$
Pour tout réel x, $\begin{array}{l} e^{x^{2} + x - 1} = 1 & \Leftrightarrow & e^{x^{2} + x - 1} = e^{0} & \Leftrightarrow & x^{2} + x - 1 = 0 \end{array}$
$x^{2} + x - 1$ est un polynôme du second degré avec $a = 1$ , $b = 1$ et $c = - 1$ . Le discriminant du trinôme est $Δ = b^{2} - 4 a c$ Soit $\begin{matrix} Δ = 1 + 4 = 5 \end{matrix}$
$Δ > 0$ donc l'équation $x^{2} + x - 1 = 0$ a deux solutions : $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ et & x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \end{array}$
L'ensemble des solutions de l'équation est $S = {- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$ .
$\ln (e^{x + 1}) = e^{x + 1} + x$
La fonction ln est définie sur $] 0; + \infty [$ . Or pour tout réel x, $e^{x + 1} > 0$ , donc les solutions de l'équation appartiennent à $ℝ$ .
Pour tout réel x, $\begin{array}{l} \ln (e^{x + 1}) = e^{x + 1} + x & \Leftrightarrow & x + 1 = e^{x + 1} + x \\ \Leftrightarrow & e^{x + 1} = 1 \\ \Leftrightarrow & e^{x + 1} = e^{0} \\ \Leftrightarrow & x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & x = - 1 \end{array}$
− 1 est la seule solution de l'équation $\ln (e^{x + 1}) = e^{x + 1} + x$ .
$e^{2 x} + e^{x} - \frac{3}{4} = 0$
Pour tout réel x, posons $e^{x} = X$ d'où $X > 0$ et $e^{2 x} = X^{2}$ . Par conséquent, l'équation $e^{2 x} + e^{x} - \frac{3}{4} = 0$ s'écrit sous la forme $X^{2} + X - \frac{3}{4} = 0$ avec $X > 0$ .
Cherchons les solutions positives de l'équation du second degré $X^{2} + X - \frac{3}{4} = 0$ avec $a = 1$ , $b = 1$ et $c = - \frac{3}{4}$ . Le discriminant du trinôme est $Δ = b^{2} - 4 a c$ Soit $\begin{matrix} Δ = 1 + 3 = 4 \end{matrix}$
$Δ > 0$ donc l'équation a deux solutions : $\begin{array}{l} X_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & X_{1} = \frac{- 1 - 2}{2} = - \frac{3}{2} \\ et & X_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & X_{2} = \frac{- 1 + 2}{2} = \frac{1}{2} \end{array}$
$X = \frac{- 1 + 2}{2}$ est la seule solution qui convienne. D'où $\begin{array}{l} e^{2 x} + e^{x} - \frac{3}{4} = 0 & \Leftrightarrow & e^{x} = \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & x = \ln (\frac{1}{2}) \end{array}$
L'équation $e^{2 x} + e^{x} - \frac{3}{4} = 0$ a pour unique solution $x = - \ln 2$

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