À l'occasion d'une kermesse, l'organisateur d'une loterie, dispose d'une part d'un sac contenant un jeton rouge et neuf jetons blancs indiscernables au toucher et d'autre part d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Il décide des règles suivantes pour le déroulement d'une partie.
Le joueur doit tirer un jeton puis jeter le dé :
À la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac.
On note R l'évènement « le jeton tiré est rouge» et G l'évènement « le joueur gagne la partie ».
Recopier et compléter l'arbre probabiliste modélisant la situation :
Le sac contient un jeton rouge et neuf jetons blancs indiscernables au toucher donc la probabilité de tirer un jeton rouge est et la probabilité de tirer un jeton blanc est
Si le jeton est rouge, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne un nombre pair donc la probabilité conditionnelle de l'évènement G sachant que l'évènement R est réalisé est .
Si le jeton est blanc, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne 6 donc la probabilité conditionnelle de l'évènement G sachant que l'évènement est réalisé est .
D'où l'arbre probabiliste modélisant la situation :
Calculer la probabilité de tirer un jeton rouge et de gagner la partie.
La probabilité de tirer un jeton rouge et de gagner la partie est égale à 0,05.
Montrer que la probabilité de gagner une partie à cette loterie, est égale à 0,2.
Les évènements R et G sont relatifs à la même épreuve alors, d'après la formule des probabilités totales : Soit A et B deux évènements quelconques, relatifs à une même épreuve alors :
Or
D'où
La probabilité de gagner une partie est égale à 0,2.
Un joueur perd la partie, quelle est la probabilité qu'il ait tiré le jeton rouge ?
Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement R sachant que l'évènement est réalisé :
La probabilité pour un joueur d'avoir tiré le jeton rouge sachant qu'il a perdu la partie est égale à 0,0625.
Un joueur fait successivement trois parties de façon indépendante. Calculer la probabilité qu'il gagne une seule partie.
Les trois parties sont jouées de façon indépendante alors, la loi de probabilité associée au nombre de parties gagnées est est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,2.
Traduisons la situation à l'aide d'un arbre :
L'évènement «gagner une seule partie» correspond aux tois issues , et .
Donc la pobabilité cherchée est
La probabilité gagner une seule partie est égale à 0,384.
Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit supérieure à 0,95 ?
Soit n le nombre de parties jouées. La loi de probabilité associée au nombre de parties gagnées est une loi binomiale de paramètres n et 0,2.
L'évènement "gagner au moins une partie" est l'évènement contraire de l'évènement "perdre les n parties".
Notons la probabilité de gagner au moins une partie alors,
Par conséquent, n est le plus petit entier tel que . Soit
Or par conséquent, le plus petit entier n pour lequel est 14.
Il faut jouer au moins 14 parties pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit supérieure à 0,95.
Chaque joueur paie 1,20 € par partie. Si le joueur gagne la partie, il reçoit un bon d'achat d'une valeur de 5 €, s'il perd la partie, il ne reçoit rien.
On note X le gain algébrique (positif ou négatif) de l'organisateur de la loterie à l'issue d'une partie. Quelles valeurs peut prendre X ?
Si le joueur perd la partie, l'organisateur gagne 1,20 €, si le joueur gagne la partie, l'organisateur perd 3,80 €
L'ensemble des valeurs de la variable X est
Proposer, en expliquant votre démarche, une estimation du montant en euros, du bénéfice que peut espérer obtenir l'organisateur si 300 parties ont été jouées.
Le gain moyen par partie que peut espérer obtenir l'organisateur est égal à l'espérance mathématique de la loi de probabilité associée au gain X :
gain X | − 3,8 | 1,2 |
probabilité p | 0,2 | 0,8 |
L'espérance mathématique de cette loi est :
D'où une estimation du bénéfice pour les 300 parties :
L'organisateur peut espérer obtenir un bénéfice de 60 €
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