contrôle №9 du 23 mai 2016

Corrigé de l'exercice 1

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,75 point, une réponse fausse ou une réponse multiple enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f :

   Le nombre dérivé $f\prime \left(a\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse a.

   • La tangente en $A\left(-3;0\right)$ à la courbe ${𝒞}_f$ passe par le point de coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ d'où $f\prime \left(-3\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}-0}{-\mathrm{0,5}+3}}=\mathrm{0,6}$

   • La tangente en $C\left(4;0\right)$ à la courbe ${𝒞}_f$ passe par le point de coordonnées $\left({\displaystyle \frac{5}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ d'où $f\prime \left(4\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}-0}{\mathrm{2,5}-4}}=-1$

   a. $f\prime \left(-3\right)=0$

   b. $f\prime \left(-3\right)=\mathrm{2,4}$

   c. $f\prime \left(4\right)=-2$

   d. $f\prime \left(4\right)=-1$

2. On note F la primitive de la fonction f telle que $F\left(0\right)=0$ :

   Dire que F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$ signifie que pour tout réel x on a $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de $f\left(x\right)$

   x	− ∞		$-3$		4		$+\infty$
   $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $F\left(x\right)$

   Sur l'intervalle $\left]-3;4\right[$ la fonction F est strictement croissante donc $F\left(4\right)>F\left(0\right)$ et, comme $F\left(0\right)=0$, on en déduit que $F\left(4\right)>0$

   a. $F\left(-3\right)=F\left(4\right)$

   b. $F\left(1\right)⩾F\left(4\right)$

   c. $F\left(4\right)>0$

   d. $F\left(4\right)<0$

3. La fonction F :

   La convexité de la fonction F se déduit des variations de sa dérivée f

   x	− ∞		1		$+\infty$
   variations de f
   Convexité de F		F est convexe		F est concave

   Ainsi, la fonction F change de convexité pour $x=1$.

   a. est concave sur $\left]-\infty ;-3\right[$	b. est convexe sur $\left]-3;4\right[$
   c. change de convexité pour $x=-3$ et $x=4$	d. change de convexité pour $x=1$

4. On note 𝒜 l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré :

   La fonction f est positive sur l'intervalle $\left]-3;4\right[$ d'où $$𝒜={\displaystyle {\int }_{-3}^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=F\left(4\right)-F\left(-3\right)$$

   L'aire 𝒜 peut être encadrée par l'aire de deux polygones

   Soit $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{\left(7+\mathrm{3,5}\right)\times 1}{2}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{3,5}\times \mathrm{0,5}}{2}}⩽𝒜⩽{\displaystyle \frac{\left(7+3\right)\times \mathrm{1,5}}{2}}& \iff & \mathrm{6,125}⩽𝒜⩽\mathrm{7,5}\end{array}$$

   a. $𝒜={\displaystyle {\int }_4^{-3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$

   b. $6⩽𝒜⩽\mathrm{7,5}$

   c. $13⩽𝒜⩽15$

   d. $𝒜=F\left(-3\right)-F\left(4\right)$

5. Pour estimer le pourcentage de personnes satisfaites d'une nouvelle émission de télévision, on a effectué un sondage. Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion p d'opinions favorables dans l'échantillon aléatoire est $\left[\mathrm{0,295};\mathrm{0,3575}\right]$. La taille n de l'échantillon est :

   Un intervalle de confiance de p au niveau de confiance 0,95 est l'intervalle $\left[f-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}};f+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\right]$ où f est la fréquence observée dans un échantillon de taille n.

   L'amplitude de l'intervalle $\left[\mathrm{0,295};\mathrm{0,3575}\right]$ est : $$\mathrm{0,3575}-\mathrm{0,295}=\mathrm{0,0625}$$

   La taille de l'échantillon est solution de l'équation :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}=\mathrm{0,0625}& \iff & \sqrt{n}={\displaystyle \frac{2}{\mathrm{0,0625}}}=32\\ & \iff & n={32}^2=1024\end{array}$$

   a. $n=256$

   b. $n=625$

   c. $n=984$

   d. $n=1024$

6. On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle $\left[-1;2\right]$. La probabilité que ce nombre soit inférieur à 1 sachant qu'il est positif est :

   Soit X la variable aléatoire qui modélise le tirage au hasard d'un nombre réel dans l'intervalle $\left[-1;2\right]$. La loi de probabilité de X est la loi uniforme sur l'intervalle $\left[-1;2\right]$.

   $$P_{\left(X⩾0\right)}\left(X<1\right)={\displaystyle \frac{P\left(0⩽X<1\right)}{P\left(X⩾0\right)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

   a. ${\displaystyle \frac{1}{4}}$

   b. ${\displaystyle \frac{1}{3}}$

   c. ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

   d. ${\displaystyle \frac{2}{3}}$

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