contrôle №9 du 23 mai 2016

Corrigé de l'exercice 2

Une entreprise fabrique, en grande quantité, des batteries Lithium-ion pour smartphone.

partie a

1. 1. En utilisant l'énoncé, donner les probabilités $P\left(D\right)$, $P_A\left(D\right)$, $P_B\left(D\right)$ et calculer $P\left(C\right)$.

      • Sur l'ensemble de la production, 3 % des batteries sont défectueuses d'où $P\left(D\right)=\mathrm{0,03}$.

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      • 6 % des batteries produites dans l'atelier A sont défectueuses d'où $P_A\left(D\right)=\mathrm{0,06}$.

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      • 4 % des batteries produites dans l'atelier B sont défectueuses d'où $P_B\left(D\right)=\mathrm{0,04}$.

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      • L'atelier A produit 15 % des batteries, l'atelier B en produit 20 % et l'atelier C fournit le reste de la production d'où $P\left(C\right)=1-\left(\mathrm{0,15}+\mathrm{0,2}\right)=\mathrm{0,65}$.

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   2. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

2. Calculer $P\left(A\cap D\right)$ et formuler une interprétation de ce résultat.

   $$\begin{array}{ll}& P\left(A\cap D\right)=P_A\left(D\right)\times P\left(A\right)\\ \text{Soit}& P\left(A\cap D\right)=\mathrm{0,15}\times \mathrm{0,06}=\mathrm{0,009}\end{array}$$

   La probabilité qu'une battrie soit défectueuse et qu'elle soit produite dans l'atelier A est égale à 0,009.

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3. 1. Montrer que $P\left(C\cap D\right)=\mathrm{0,013}$

      D'après la formule des probabilités totales : $$\begin{array}{ccc}P\left(D\right)=P\left(A\cap D\right)+P\left(B\cap D\right)+P\left(C\cap D\right)& \text{soit}& P\left(C\cap D\right)=P\left(D\right)-P\left(A\cap D\right)-P\left(B\cap D\right)\end{array}$$

      Avec $$\begin{array}{ll}& P\left(A\cap D\right)=P_B\left(D\right)\times P\left(B\right)\\ \text{Soit}& P\left(B\cap D\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,04}=\mathrm{0,008}\end{array}$$

      D'où $$P\left(C\cap D\right)=\mathrm{0,03}-\mathrm{0,009}-\mathrm{0,008}=\mathrm{0,013}$$

      La probabilité qu'une battrie soit défectueuse et qu'elle soit produite dans l'atelier C est égale à 0,013.

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   2. En déduire la probabilité qu'une batterie produite par l'atelier C soit défectueuse.

      $$\begin{array}{lll}{P}_C\left(D\right)={\displaystyle \frac{P\left(C\cap D\right)}{P\left(C\right)}}& \text{Soit}& P_C\left(D\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,013}}{\mathrm{0,65}}}=\mathrm{0,02}\end{array}$$

      La probabilité qu'une batterie produite par l'atelier C soit défectueuse est égale à 0,02.

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   3. La batterie est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle ait été produite par l'atelier A ?

      $$\begin{array}{lll}{P}_D\left(A\right)={\displaystyle \frac{P\left(A\cap D\right)}{P\left(D\right)}}& \text{Soit}& P_D\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,009}}{\mathrm{0,03}}}=\mathrm{0,30}\end{array}$$

      La probabilité qu'une batterie est défectueuse ait été produite par l'atelier A est égale à 0,3.

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4. On prélève au hasard 10 batteries dans la production d'une journée. La production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à 10 tirages avec remise.
   Quelle est la probabilité, arrondie à ${10}^{-3}$ près, que parmi les 10 batteries, il y en ait au moins une qui soit défectueuse ?

   Soit X la variable aléatoire qui associe à tout échantillon de 10 batteries le nombre de batteries défectueuses. X suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\mathrm{0,03}$.

   L'évènement « au moins une batterie est défectueuse » est l'évènement contraire de l'évènement « les 10 batteries ne sont pas défectueuses » :$$\begin{array}{rcl}P\left(X⩾1\right)& =& 1-P\left(X=0\right)\\ & =& 1-{\mathrm{0,97}}^{10}\approx \mathrm{0,263}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité que parmi les 10 batteries, il y en ait au moins une qui soit défectueuse est 0,263.

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partie b

Le nombre de cycles de charge d'une batterie est appelé durée de vie de la batterie.
La durée de vie des batteries Lithium-ion mises en vente par cette entreprise est modélisée par la variable aléatoire X suivant la loi normale de moyenne $\mu =600$ et d'écart-type $\sigma =\mathrm{74,6}$.

1. La fonction densité associée à X est représentée sur un seul de trois graphiques ci-dessous. Quel est ce graphique ? Expliquer le choix.

   • La courbe associée à la loi normale de moyenne $\mu =600$ admet pour axe de symétrie la droite d'équation $x=600$ donc le graphique 3 ne convient pas.

   • X suit la loi normale $𝒩\left(600;{\mathrm{74,6}}^2\right)$ d'où $P\left(X\in \left[\mathrm{525,4};\mathrm{674,6}\right]\right)\approx \mathrm{0,683}$ donc le graphique 2 ne convient pas

   Graphique 1	Graphique 2	Graphique 3

   Le courbe du graphique 1 est la seule des trois courbes susceptible d'être associée à la loi normale de moyenne $\mu =600$ et d'écart-type $\sigma =\mathrm{74,6}$.

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2. 1. Déterminer $P\left(550⩽X⩽1000\right)$ en donnant le résultat arrondi au centième.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(550⩽X⩽1000\right)\approx \mathrm{0,749}$.

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   2. Quelle est la probabilité que la durée de vie d'une batterie soit inférieure à 500 cycles de charge ?

      La calculatrice permet de déterminer la probabilité $P\left(a⩽X⩽b\right)$ quand X suit la loi normale : $$\begin{array}{rcl}P\left(X⩽500\right)& =& P\left(X⩽600\right)-P\left(500⩽X⩽600\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(500⩽X⩽600\right)\\ & \approx & \mathrm{0,09}\end{array}$$

      La probabilité, arrondie au centième près, que que la durée de vie d'une batterie soit inférieure à 500 cycles de charge est 0,09.

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partie c

Le service commercial affirme que 91 % des batteries proposées à la vente ont une durée de vie supérieure à 500 cycles de charge.
Pour vérifier cette affirmation, un laboratoire indépendant a reconstitué la vie de 100 batteries en simulant des cycles de charge et de décharge pour déterminer leur durée de vie en fonction de différents facteurs.
Sur ce lot, on a constaté que 13 batteries ont eu une durée de vie inférieure à 500 cycles de charge.

Le résultat de ce test remet-il en question l'affirmation du service commercial ?

• La fréquence observée des batteries ayant une durée de vie inférieure à 500 cycles de charge dans l'échantillon est $f={\displaystyle \frac{13}{100}}=\mathrm{0,13}$

• Soit $p=\mathrm{0,09}$ la probabilité qu'une batterie ait une durée de vie inférieure à 500 cycles de charge. Comme $n=100$, $n\times p=9$ et $n\times \left(1-p\right)=91$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,09}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,09}\times \mathrm{0,91}}{100}}};\mathrm{0,09}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,09}\times \mathrm{0,91}}{100}}}\right]\end{array}$$

  Soit en arrondissant à ${10}^{-3}$ près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des des batteries ayant une durée de vie inférieure à 500 cycles de charge dans un échantillon de 100 batteries est $I=\left[\mathrm{0,033};\mathrm{0,147}\right]$.

La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, le résultat de ce test ne remet pas en question l'affirmation du service commercial.

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