contrôles en terminale ES

contrôle №9 du 23 mai 2016

Corrigé de l'exercice 3 : Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La température d'un gâteau à la sortie du four est de 160°C.
L'évolution de la température du gâteau en fonction du temps est modélisée par la suite $(T_{n})$ définie par $T_{0} = 160$ et, pour tout entier naturel n, $T_{n + 1} = 0,94 \times T_{n} + 1,5$ .
Pour tout entier naturel n, le terme $T_{n}$ de la suite $(T_{n})$ est égal à la température en degrés Celsius du gâteau n minutes après la sortie du four.

partie a

Quelle est la température, arrondie au degré près, du gâteau 5 minutes après la sortie du four ?
Dans le tableau ci-dessous, on a reporté l'évolution de la température du gâteau pour $n = 0$ à $n = 5$ ( les valeurs calculées sont arrondies au dixième près).
valeur de n 0 1 2 3 4 5
$(T_{n})$ 160 151,9 144,3 137,1 130,4 124,1
5 minutes après la sortie du four, la température du gâteau est de 124°C.

Pour déterminer au bout de combien de minutes la température du gâteau sera inférieure ou égale à 30°C, on a commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous.
Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche la réponse.

variables :	N est un entier naturel T est un nombre réel
initialisation :	Affecter à N la valeur 0 Affecter à T la valeur 160
traitement :	Tant que $T ⩾ 30$ faire Affecter à T la valeur $0,94 \times T + 1,5$ Affecter à N la valeur $N + 1$ Fin Tant que
Sortie :	Afficher N

partie b

Pour tout nombre entier naturel n, on définit la suite $(V_{n})$ par : $V_{n} = T_{n} - 25$ .
1. Montrer que la suite $(V_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{rcl} V_{n + 1} & = & T_{n + 1} - 25 \\ = & 0,94 T_{n} + 1,5 - 25 \\ = & 0,94 T_{n} - 23,5 \\ = & 0,94 \times (T_{n} - 25) \\ = & 0,94 V_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $V_{n + 1} = 0,94 V_{n}$ donc $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,94. Le premier terme de cette suite est $V_{0} = 160 - 25 = 135$ .
2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a : $T_{n} = 135 \times {0,94}^{n} + 25$ .
  $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,94 et de premier terme $V_{0} = 135$ donc pour tout entier naturel n, $V_{n} = 135 \times {0,94}^{n}$ .
  Pour tout entier naturel n, $V_{n} = T_{n} - 25 \Leftrightarrow T_{n} = V_{n} + 25$ donc :
  pour tout entier naturel n, on a $T_{n} = 135 \times {0,94}^{n} + 25$ .
Calculer la limite de la suite $(T_{n})$ et interpréter ce résultat.
$0 < 0,94 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,94}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 135 \times {0,94}^{n} + 25 = 25$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} T_{n} = 25$ .
La suite $(T_{n})$ converge vers 25. À partir d'un certain temps, la température du gâteau sera proche de la température de la pièce : 25°C.
1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $135 \times {0,94}^{n} + 25 ⩽ 30$ .
  $\begin{array}{rcll} 135 \times {0,94}^{n} + 25 ⩽ 30 & \Leftrightarrow & 135 \times {0,94}^{n} ⩽ 5 \\ \Leftrightarrow & {0,94}^{n} ⩽ \frac{1}{27} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,94}^{n}) ⩽ \ln (\frac{1}{27}) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln (0,94) ⩽ - \ln 27 \\ \Leftrightarrow & n ⩾ - \frac{\ln 27}{\ln 0,94} & \ln 0,94 < 0 \end{array}$
  Comme $- \frac{\ln 27}{\ln 0,94} \approx 52,3$ alors :
  L'ensemble des entiers naturels solutions de l'inéquation $135 \times {0,94}^{n} + 25 ⩽ 30$ sont les entiers $n ⩾ 53$ .
2. En déduire la valeur N affichée par l'algorithme de la partie A.
  La valeur affichée par l'algorithme de la partie A est le plus petit entier solution de l'inéquation $135 \times {0,94}^{n} + 25 ⩽ 30$ soit $N = 53$ .

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valeur de n	0	1	2	3	4	5
$(T_{n})$	160	151,9	144,3	137,1	130,4	124,1