contrôles en terminale ES

contrôle №9 du 23 mai 2016

Corrigé de l'exercice 3 : Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un industriel décide de modifier l'emballage d'un de ses produits. On note A le conditionnement actuel du produit et B le nouveau conditionnement.
À partir des études réalisées au préalable, la direction commerciale estime que 28 % des consommateurs choisissant le conditionnement A et 12 % des consommateurs choisissant le conditionnement B changent d'avis d'un mois sur l'autre.
Pour tout entier naturel n, on note $a_{n}$ et $b_{n}$ les probabilités qu'un consommateur choisisse respectivement le conditionnement A et le conditionnement B le n-ième mois après la mise sur le marché du conditionnement B et $P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ la matrice ligne décrivant l'état probabiliste le n-ième mois après la mise sur le marché du nouveau conditionnement. Ainsi, $P_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix})$ .

partie a

Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
On estime que d'un mois sur l'autre :
- 28 % des consommateurs choisissant le conditionnement A changent d'avis d'où $P_{A_{n}} (B_{n + 1}) = 0,28$ et $P_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 1 - 0,28 = 0,72$ .
- 12 % des consommateurs choisissant le conditionnement B changent d'avis d'où $P_{B_{n}} (A_{n + 1}) = 0,12$ et $P_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 1 - 0,12 = 0,88$ .
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
1. Donner la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
  La matrice de transition M de ce graphe est $M = (\begin{matrix} 0,72 & 0,28 \\ 0,12 & 0,88 \end{matrix})$ .
2. Calculer la probabilité qu'un consommateur choisisse le conditionnement B deux mois après sa mise sur le marché.
  $\begin{matrix} P_{2} = P_{0} \times M^{2} & soit & P_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,72 & 0,28 \\ 0,12 & 0,88 \end{matrix})}^{2} = (\begin{matrix} 0,552 & 0,448 \end{matrix}) \end{matrix}$
  La probabilité qu'un consommateur choisisse le conditionnement B deux mois après sa mise sur le marché est égale à 0,448.
On note $P = (\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ l'état stable associé à ce graphe. Déterminer les réels a et b. Interpréter ce résultat.
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_{n}$ converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ avec $a + b = 1$ et vérifiant : $\begin{matrix} (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,72 & 0,28 \\ 0,12 & 0,88 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,72 a + 0,12 b & 0,28 a + 0,88 b \end{matrix}) \end{matrix}$
Soit : $\begin{matrix} {\begin{matrix} a = 0,72 a + 0,12 b \\ b = 0,28 a + 0,88 b \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} 0,28 a - 0,12 b = 0 \\ - 0,28 a + 0,12 b = 0 \end{matrix} \end{matrix}$
Comme d'autre part, $a + b = 1$ on en déduit que a et b sont solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{array}{rcl} 0,28 a - 0,12 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} a + b & = & 1 \\ 0,4 a & = & 0,12 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} a = 0,3 \\ b = 0,7 \end{array} \end{matrix}$
L'état probabiliste converge vers l'état stable $P = (\begin{matrix} 0,3 & 0,7 \end{matrix})$ . À partir d'un certain temps, tous les mois 30 % environ des consommateurs choisiront le conditionnement A et 70 % le conditionnement B.

partie b

L'industriel décide de ne plus proposer le conditionnement A à partir du mois où il prévoit que moins de 32 % des consommateurs choisiront ce conditionnement.

Montrer que pour tout entier naturel n non nul, on a : $a_{n + 1} = 0,6 a_{n} + 0,12$ .
Pour tout entier naturel n non nul : $(\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,72 & 0,28 \\ 0,12 & 0,88 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,72 a_{n} + 0,12 b_{n} & 0,28 a_{n} + 0,88 b_{n} \end{matrix})$
Soit $a_{n + 1} = 0,72 a_{n} + 0,12 b_{n}$ avec $a_{n} + b_{n} = 1$ . D'où tout entier naturel n non nul, $a_{n + 1} = 0,72 a_{n} + 0,12 \times (1 - a_{n}) = 0,6 a_{n} + 0,12$
Ainsi, pour tout entier naturel n non nul, on a : $a_{n + 1} = 0,6 a_{n} + 0,12$ .

Pour déterminer au bout de combien de mois le conditionnement A sera retiré du marché, on a commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous. Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche la réponse.

variables :	N est un entier naturel A est un nombre réel
initialisation :	Affecter à N la valeur 0 Affecter à A la valeur 1
traitement :	Tant que $A ⩾ 0,32$ faire Affecter à A la valeur $0,6 \times A + 0,12$ Affecter à N la valeur $N + 1$ Fin Tant que
Sortie :	Afficher N

Pour tout nombre entier naturel n, on définit la suite $(u_{n})$ par $u_{n} = a_{n} - 0,3$ .
1. Montrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{rcl} u_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 0,3 \\ = & 0,6 a_{n} + 0,12 - 0,3 \\ = & 0,6 a_{n} - 0,18 \\ = & 0,6 \times (a_{n} - 0,3) \\ = & 0,6 u_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,6 u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,6. Le premier terme de cette suite est $u_{0} = 1 - 0,3 = 0,7$ .
2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a : $a_{n} = 0,7 \times {0,6}^{n} + 0,3$ .
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,6 et de premier terme $u_{0} = 0,7$ donc pour tout entier naturel n, $u_{n} = 0,7 \times {0,6}^{n}$ .
  Pour tout entier naturel n, $u_{n} = a_{n} - 0,3 \Leftrightarrow a_{n} = u_{n} + 0,3$ donc :
  pour tout entier naturel n, on a $a_{n} = 0,7 \times {0,6}^{n} + 0,3$ .
Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $0,7 \times {0,6}^{n} + 0,3 ⩽ 0,32$ . En déduire au bout de combien de mois, le conditionnement A sera retiré du marché.
$\begin{array}{rcll} 0,7 \times {0,6}^{n} + 0,3 ⩽ 0,32 & \Leftrightarrow & 0,7 \times {0,6}^{n} ⩽ 0,02 \\ \Leftrightarrow & {0,6}^{n} ⩽ \frac{0,02}{0,7} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,6}^{n}) ⩽ \ln (\frac{0,02}{0,7}) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln (0,6) ⩽ - \ln 35 \\ \Leftrightarrow & n ⩾ - \frac{\ln 35}{\ln 0,6} & \ln 0,6 < 0 \end{array}$
Comme $- \frac{\ln 35}{\ln 0,6} \approx 6,96$ alors, l'ensemble des entiers naturels solutions de l'inéquation $0,7 \times {0,6}^{n} + 0,3 ⩽ 0,32$ sont les entiers $n ⩾ 7$ .
Le conditionnement A sera retiré du marché au bout de sept mois.

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