contrôle №9 du 23 mai 2016

Corrigé de l'exercice 4

partie a

Soit f une fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;1\right]$ par $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{x-1}$.

1. Montrer que pour tout réel $x\in \left[0;1\right]$, $f\left(x\right)⩽x$.

   Pour tout réel $x\in \left[0;1\right]$ : $$\begin{array}{rcll}f\left(x\right)⩽x& \iff & x{\mathrm{e}}^{x-1}-x⩽0& \\ & \iff & x\times \left({\mathrm{e}}^{x-1}-1\right)⩽0& \\ & \text{Soit}& {\mathrm{e}}^{x-1}-1⩽0& x\in \left[0;1\right]\\ & \iff & {\mathrm{e}}^{x-1}⩽1& \\ & \iff & x-1⩽0& \\ & \iff & x⩽1& \end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;1\right]$ on a $f\left(x\right)⩽x$.

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2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables sur $\left[0;1\right]$ :
   $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel $x\in \left[0;1\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-1}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-1}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel $x\in \left[0;1\right]$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{x-1}+x{\mathrm{e}}^{x-1}\hfill \\ & =& \left(x+1\right){\mathrm{e}}^{x-1}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;1\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{x-1}$

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3. Montrer que la fonction f est strictement croissante.

   Les variations de la foction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{x-1}>0$ et, sur l'intervalle $\left[0;1\right]$, $x+1>0$ donc $f\prime \left(x\right)>0$.

   Pour tout réel $x\in \left[0;1\right]$, on a $f\prime \left(x\right)>0$ donc la la fonction f est strictement croissante.

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4. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ possède une unique solution α sur l'intervalle $\left[0;1\right]$.

   La fonction f est dérivale donc continue, strictement croissante avec $f\left(0\right)=0$ et $f\left(1\right)=1$

   La fonction f est continue, strictement croissante et $f\left(0\right)<\mathrm{0,5}<f\left(1\right)$ donc l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ possède une unique solution α sur l'intervalle $\left[0;1\right]$.

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5. Vérifier que la fonction F définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;1\right]$ par $F\left(x\right)=\left(x-1\right){\mathrm{e}}^{x-1}$ est une primitive de la fonction f.

   Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ signifie que pour tout réel $x\in \left[0;1\right]$ on a $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   La fonction F est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables sur $\left[0;1\right]$ :
   $F=uv$ d'où $F\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel $x\in \left[0;1\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x-1\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-1}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-1}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel $x\in \left[0;1\right]$, $$\begin{array}{ccc}F\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{x-1}+\left(x-1\right){\mathrm{e}}^{x-1}\hfill \\ & =& x{\mathrm{e}}^{x-1}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;1\right]$ on a $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;1\right]$.

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partie b

1. Déterminer la proportion des employés ayant les salaires les plus faibles qui détiennent 50 % de la masse salariale. (On donnera le résultat arrondi à 0,1 % près.)

   D'après la question 4 de la partie A, l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ possède une unique solution α sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ avec la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{0,685}$.

   La moitié de la masse salariale est détenue par 68,5 % des employés ayant les salaires les plus faibles.

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2. On mesure l'inégalité de la répartition en comparant l'écart entre la situation d'équité parfaite et la situation réelle.
   On définit alors l'indice de Gini noté γ par $\gamma =2\times 𝒜$, où 𝒜 est l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré compris entre le segment [OA] et la courbe de Lorenz $C_f$.

   1. Montrer que $\gamma =1-2\times {\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      D'après la question 1 de la partie A, pour tout réel $x\in \left[0;1\right]$, $f\left(x\right)⩽x$. Par conséquent, l'aire 𝒜 du domaine hachuré compris entre la droite d'équation $y=x$ et la courbe $C_f$ est :$$𝒜={\displaystyle {\int }_0^{1}x\mathrm{d}x}-{\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

      D'où $$\gamma =2\times \left({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\right)=1-2\times {\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

      Ainsi, $\gamma =1-2\times {\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

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   2. Calculer γ. (On donnera la valeur exacte de γ et la valeur arrondie à ${10}^{-3}$ près.)

      La fonction F définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;1\right]$ par $F\left(x\right)=\left(x-1\right){\mathrm{e}}^{x-1}$ est une primitive de la fonction f d'où : $$\begin{array}{rcl}\gamma =1-2\times {\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& 1-2\times \left(F\left(1\right)-F\left(0\right)\right)\\ & =& 1-2\times \left(0-\left(-{\mathrm{e}}^{-1}\right)\right)\\ & =& 1-2{\mathrm{e}}^{-1}\end{array}$$

      L'indice de Gini $\gamma =1-2{\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{0,264}$.

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