contrôles en terminale ES

bac blanc du 24 février 2017

Corrigé de l'exercice 4

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous, la courbe $C_{f}$ représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $] 0; 5]$ .
La tangente à la courbe $C_{f}$ au point A d'abscisse 1 passe par le point B de coordonnées $(0; 2)$ .

partie a

On note $f'$ la dérivée de la fonction f, déterminer $f' (1)$ .
Le nombre dérivé $f' (1)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse 1.
Or cette tangente passe par les points $A (1; 3)$ et $B (0; 2)$ d'où : $f' (1) = \frac{2 - 3}{0 - 1} = 1$
Ainsi, $f' (1) = 1$ .
Que représente le point A pour la courbe $C_{f}$ ?
La courbe $C_{f}$ traverse sa tangente au point A d'abscisse 1 donc A est un point d'inflexion de la courbe $C_{f}$ .

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 5]$ par $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + x - x \ln (x) + \frac{3}{2}$ .

Justifier que $f' (x) = x - \ln (x)$ .
Soit g la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $g (x) = x \ln (x)$ .
g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $g = u v$ d'où $g' = u' v + u v'$ avec pour tout réel x strictement positif, ${\begin{array}{lcl} u (x) = x & ; & u' (x) = 1 \\ v (x) = \ln (x) & ; & v' (x) = \frac{1}{x} \end{array}$
Soit pour tout réel x strictement positif, $\begin{matrix} g' (x) = \ln (x) + x \times \frac{1}{x} & \Leftrightarrow & g' (x) = \ln (x) + 1 \end{matrix}$
On en déduit que sur l'intervalle $] 0; 5]$ on a : $\begin{array}{rcl} f' (x) = \frac{2 x}{2} + 1 - (\ln (x) + 1) & \Leftrightarrow & f' (x) = x + 1 - \ln (x) - 1 \\ \Leftrightarrow & f' (x) = x - \ln (x) \end{array}$
Ainsi, $f'$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 5]$ par $f' (x) = x - \ln (x)$ .
Calculer $f ″ (x)$ , où $f ″$ est la dérivée seconde de la fonction f.
$f ″$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 5]$ par $f ″ (x) = 1 - \frac{1}{x}$ .

Étudier les variations de la fonction dérivée $f'$ .

Les variations de la fonction $f'$ se déduisent du signe de sa dérivée $f ″$ . Or pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 5]$ , $f ″ (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$

Par conséquent, $\begin{matrix} f ″ (x) ⩾ 0 & \Leftrightarrow & x ⩾ 1 \end{matrix}$

D'où le tableau de variation de la fonction $f' (x)$ sur l'intervalle $] 0; 5]$ :

x	0		1		5
$f ″ (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$f' (x)$			$f' (1) = 1$

En déduire que la fonction f est strictement croissante.
Le minimum de la fonction $f'$ est égal à 1.
Pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 5]$ , $f' (x) > 0$ donc la fonction f est strictement croissante.

Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse 3.
Tracer la droite T sur le graphique donné en annexe.
Une équation de la tangente T à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse 3 est : $y = f' (3) \times (x - 3) + f (3)$
Or $\begin{matrix} f (3) = \frac{9}{2} + 3 - 3 \ln (3) + \frac{3}{2} = 9 - 3 \ln 3 & et & f' (3) = f (3) = 3 - \ln 3 \end{matrix}$
D'où : $\begin{matrix} y = (3 - \ln 3) \times (x - 3) + 9 - 3 \ln 3 & \Leftrightarrow & y = (3 - \ln 3) \times x \end{matrix}$
La tangente T à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse 3 a pour équation $y = (3 - \ln 3) x$ .
La tangente T passe par l'origine du repère et le point de la courbe $C_{f}$ d'abscisse 3

partie c

Une entreprise produit et commercialise un article. Sa capacité de production quotidienne est limitée à 5 milliers d'articles.
La fonction f modélise sur l'intervalle $] 0; 5]$ le coût total de production exprimé en milliers d'euros, où x désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.
On note $C_{M} (x)$ le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué.
$C_{M}$ est la fonction définie sur l'intervalle $] 0; 5]$ par $C_{M} (x) = \frac{f (x)}{x}$ .
On admet que la fonction $C_{M}$ est dérivable sur l'intervalle $] 0; 5]$ et on appelle $C'$ sa fonction dérivée.

Calculer $C' (x)$ , et vérifier que $C' (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{2 x^{2}}$ pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 5]$ .
$C_{M}$ est la fonction définie sur l'intervalle $] 0; 5]$ par $C_{M} (x) = \frac{f (x)}{x} = \frac{x}{2} + 1 - \ln (x) + \frac{3}{2 x}$ . D'où pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 5]$ on a : $\begin{matrix} C' (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{x} + \frac{3}{2} \times (- \frac{1}{x^{2}}) & \Leftrightarrow & C' (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{2 x^{2}} \end{matrix}$
Ainsi, $C'$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 5]$ par $C' (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{2 x^{2}}$ .

Étudier les variations de la fonction $C_{M}$ sur $] 0; 5]$ .

Pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 5]$ , $2 x^{2} > 0$ donc $C' (x)$ est du même signe que le polynôme du second degré $x^{2} - 2 x - 3$ .

Le discriminant du trinôme est $Δ = 4 - 4 \times 1 \times (- 3) = 16$

$Δ > 0$ donc le trinôme a deux racines : $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{2 - 4}{2} = - 1 & et & x_{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \end{array}$

Les variations de la fonction $C_{M}$ se déduisent du signe de sa dérivée sur l'intervalle $] 0; 5]$ :

x	0		3		5
$C' (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$C_{M} (x)$			$3 - \ln 3$

$C_{M} (3) = \frac{3}{2} + 1 - \ln (3) + \frac{3}{6} = 3 - \ln 3$

Quel est le prix de vente d'un article en dessous duquel l'entreprise est certaine de ne pas faire de bénéfice ?
Le coût moyen minimal est $C_{M} (3) = 3 - \ln 3 \approx 1,901$ .
Le prix de vente d'un article en dessous duquel l'entreprise est certaine de ne pas faire de bénéfice est 1,91 €.

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