Pour chacune des questions suivantes, une seule des cinq réponses proposées est exacte.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.
On s'intéresse à la fonction .
La dérivée a pour expression :
f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x,
Soit pour tout réel x,
a. | b. | c. | d. | e. |
L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 est :
Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 est :
Or et donc la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 a pour équation .
a. | b. | c. | d. | e. Aucune réponse n'est juste. |
Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous, la courbe représentative de la dérivée de la fonction f ainsi que sa tangente au point d'abscisse 0.
La fonction f est :
La convexité de la fonction f se déduit des variations de sa dérivée. Or sur l'intervalle , la dérivée est décroissante donc la fonction f est concave sur .
a. concave sur | b. convexe sur | c. croissante sur | d. décroissante sur | e. Aucune réponse n'est juste |
On note la dérivée seconde de la fonction f :
est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la dérivée de la fonction f au point d'abscisse 0.
Or cette tangente passe par les points de coordonnées et d'où
a. | b. | c. | d. | e. |
Sur l'intervalle , le nombre de solutions de l'équation est :
Sur l'intervalle , la courbe représentative de la dérivée de la fonction f admet une seule tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse b.
Par conséquent, l'équation admet une seule solution sur l'intervalle .
a. 0 | b. 1 | c. 2 | d. 3 | e. on ne peut pas savoir |
On peut répondre aux trois dernières questions en étudiant .
La dérivée est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x,
Soit pour tout réel x,
Pour tout réel x, donc est du même signe que le polynôme du second degré .
Le discriminant du trinôme est
donc le trinôme a deux racines :
Nous pouvons en déduire le tableau du signe de :
x | |||||||
Signe de | + | − | + |
Ainsi,
sur l'intervalle , donc la fonction f est concave sur .
.
Sur l'intervalle , l'équation admet une seule solution : .
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