contrôles en terminale ES

bac blanc du 24 février 2017

Corrigé de l'exercice 3 : Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des questions suivantes, une seule des cinq réponses proposées est exacte.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.


On s'intéresse à la fonction f:x(x2-3x+2)e2x.

  1. La dérivée f a pour expression :

    f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x, {u(x)=x2-3x+2;u(x)=2x-3v(x)=e2x;v(x)=2e2x

    Soit pour tout réel x, f(x)=(2x-3)e2x+(x2-3x+2)×(2e2x)=[(2x-3)+2×(x2-3x+2)]×e2x=(2x-3+2x2-6x+4)e2x=(2x2-4x+1)e2x

    a. f(x)=(2x2-4x+1)e2x

    b. f(x)=2(2x-3)e2x

    c. f(x)=4x-6e2x

    d. f(x)=(2x-3)e2x

    e. f(x)=(x2-x-1)e2x

  2. L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 est :

    Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 est :y=f(0)×x+f(0)

    Or f(0)=2×e0=2 et f(0)=1×e0=1 donc la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 a pour équation y=x+2.

    a. y=-3x+2

    b. y=-6x+1

    c. y=2x+1

    d. y=x+2

    e. Aucune réponse n'est juste.

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous, la courbe 𝒞 représentative de la dérivée de la fonction f ainsi que sa tangente au point d'abscisse 0.

Courbe représentative de la dérivée f' : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. La fonction f est :

    La convexité de la fonction f se déduit des variations de sa dérivée. Or sur l'intervalle [0;1], la dérivée f est décroissante donc la fonction f est concave sur [0;1].

    a. concave sur [0;1]

    b. convexe sur [0;1]

    c. croissante sur [0;1]

    d. décroissante sur [0;1]

    e. Aucune réponse n'est juste

  2. On note f la dérivée seconde de la fonction f :

    f(0) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe 𝒞 représentative de la dérivée de la fonction f au point d'abscisse 0.

    Or cette tangente passe par les points de coordonnées (0;1) et (1;-1) d'où f(0)=-1-11-0=-2

    a. f(0)=1

    b. f(0)=-1

    c. f(0)=-2

    d. f(0)=-3

    e. f(0)=-4

  3. Sur l'intervalle [0;+[, le nombre de solutions de l'équation f(x)=0 est :

    Sur l'intervalle [0;+[, la courbe 𝒞 représentative de la dérivée de la fonction f admet une seule tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse b.
    Par conséquent, l'équation f(x)=0 admet une seule solution sur l'intervalle [0;+[.

    a. 0

    b. 1

    c. 2

    d. 3

    e. on ne peut pas savoir


remarque :

On peut répondre aux trois dernières questions en étudiant f(x).

La dérivée f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x, {u(x)=2x2-4x+1;u(x)=4x-4v(x)=e2x;v(x)=2e2x

Soit pour tout réel x, f(x)=(4x-4)e2x+(2x2-4x+1)×(2e2x)f(x)=(4x-4+4x2-8x+2)e2xf(x)=(4x2-4x-2)e2x

Pour tout réel x, e2x>0 donc f(x) est du même signe que le polynôme du second degré 4x2-4x-2.

Le discriminant du trinôme est Δ=16-4×4×(-2)=48

Δ>0 donc le trinôme a deux racines : x1=4-438=1-32etx2=4+438=1+32

Nous pouvons en déduire le tableau du signe de f(x)=(4x2-4x-2)e2x :

x-1-321+32+
Signe de f(x)+0||0||+

Ainsi,


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