contrôle du 28 mars 2017

Corrigé de l'exercice 1

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.

Soit F une primitive de la fonction fonction f.

1. La courbe représentative de la fonction F admet-elle des points d'inflexion ?

   F est une primitive de la fonction f donc pour tout réel x, on a $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, la convexité de la fonction F se déduit des variations de f.

   x	$-\infty$		a		b		$+\infty$
   variations de f
   Convexité de F		convexe		concave		convexe

   ---

   La fonction F change deux fois de convexité donc sa courbe représentative admet deux points d'inflexion.

   ---

2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique d'une primitive F de la fonction fonction f.
   En justifiant votre réponse, donner une valeur approchée, à l'unité d'aire près, de l'aire du domaine hachuré.

   • Sur l'intervalle $\left[-3;2\right]$ la fonction f est positive donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-3$ et $x=2$ est égale à l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle $\left[-3;2\right]$. $${\displaystyle {\int }_{-3}^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=F\left(2\right)-F\left(-3\right)$$

   • Les variations de la fonction F se déduisent du signe de sa dérivée f.

     x	− ∞		$-4$		$+\infty$
     Signe de $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
     Variations de F

     ---

     La courbe $C_2$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction F.

     Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

   Par lecture graphique sur la courbe $C_2$ on a : $F\left(2\right)\approx 6$ et $F\left(-3\right)\approx -4$ d'où $$F\left(2\right)-F\left(-3\right)\approx 6-\left(-4\right)\approx 10$$

   L'aire du domaine hachuré est égale à environ 10 unités d'aire.

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